Ley de desplazamiento de Wien

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Un filamento atenuado se ilumina en rojo a aproximadamente 700 ° C y de naranja a blanco amarillento a temperaturas más altas

Wien 's ley de desplazamiento , llamado después de Wilhelm Wien , estados que la longitud de onda a la que un cuerpo negro de la temperatura absoluta T emite la radiación más intensa es inversamente proporcional a la temperatura. Por ejemplo, si la temperatura del radiador se duplica, la longitud de onda a la que se encuentra su máximo de radiación se reduce a la mitad. Por ejemplo, el color resplandeciente de un cuerpo brillante cambia de inicialmente rojizo a blanquecino a azulado, es decir, a longitudes de onda más cortas, cuando la temperatura aumenta de 1000 K sobre 3000 K a 10000 K.

Además de esta formulación de la ley, a veces se utilizan otras formulaciones que, en lugar de la longitud de onda, se refieren a la frecuencia de la radiación más intensa o la longitud de onda o frecuencia de la tasa de fotones más alta. El término "radiación más intensa" describe el máximo de la respectiva densidad de potencia espectral y, por lo tanto, puede pertenecer a diferentes rangos espectrales en función de la variable.

La ley de desplazamiento de Wien se puede derivar de la ley de radiación de Planck , que describe la densidad de potencia espectral de la radiación de un cuerpo negro. Viena ya había podido deducirlo a partir de consideraciones termodinámicas unos años antes de que se descubriera esta ley.

General

Espectros de radiación de Planck para diferentes temperaturas

La radiación térmica emitida por un cuerpo negro es una mezcla de ondas electromagnéticas de una amplia gama de longitudes de onda. La distribución de la intensidad de la radiación en las longitudes de onda individuales se describe mediante la ley de radiación de Planck . Tiene un máximo claro, cuya posición se puede calcular fácilmente utilizando la ley de desplazamiento de Wien.

Cuanto mayor es la temperatura de un cuerpo, más cortas son las longitudes de onda y el máximo de la distribución. Por esta razón, por ejemplo, el acero emite radiación infrarroja invisible (“radiación térmica”) a temperatura ambiente, mientras que el acero cálido y brillante brilla en rojo oscuro. El acero líquido caliente se ilumina casi en blanco porque, además de cambiar el máximo a un área azulada de onda más corta, también aumenta la intensidad de todas las longitudes de onda en el espectro (la luz blanca consta de varias longitudes de onda del espectro visible ).

Máximo de la intensidad de radiación

La formulación más común de la ley del desplazamiento describe la longitud de onda a la que se encuentra la máxima intensidad de radiación. Es:

${\ Displaystyle \ lambda _ {\ mathrm {max}} = {\ frac {2897 {,} 8 \, \ mathrm {\ mu m \ K}} {T}}}$

Con

${\ Displaystyle \ lambda _ {\ mathrm {max}}}$	: Longitud de onda a la que la intensidad es máxima (en μm )
${\ Displaystyle T}$	: temperatura absoluta del cuerpo negro (en K )

Ocasionalmente, en lugar de la longitud de onda, es de interés la frecuencia a la que se encuentra el máximo de intensidad. Esta frecuencia es:

${\ Displaystyle \ nu _ {\ mathrm {max}} = 5 {,} 8789 \ cdot 10 ^ {10} \, \ mathrm {Hz \, K ^ {- 1}} \ cdot T}$

Esta frecuencia no es la frecuencia que correspondería a la longitud de onda máxima según la fórmula de conversión que se aplica a todas las ondas , pero es aproximadamente menor por un factor independiente de la temperatura . Por tanto, la posición del máximo es diferente según se considere la distribución de la radiación en función de la longitud de onda o de la frecuencia. Esta circunstancia, que en un principio parece paradójica, se explica con más detalle en el siguiente apartado. ${\ Displaystyle \ textstyle \ nu = c / \ lambda}$${\ Displaystyle \ lambda _ {\ mathrm {max}}}$${\ displaystyle 0 {,} 6}$

Máximo de la tasa de fotones

Para algunos procesos, como la fotosíntesis , la tasa de fotones incidentes es decisiva en lugar de la intensidad de la radiación incidente. La longitud de onda a la que se encuentra el máximo de la tasa de fotones es

${\ Displaystyle \ lambda _ {\ mathrm {max, Ph}} = {\ frac {3669 {,} 7 \, \ mathrm {\ mu m \ K}} {T}}}$

La frecuencia a la que se encuentra el máximo de la tasa de fotones es

${\ Displaystyle \ nu _ {\ mathrm {max, Ph}} = 3 {,} 3206 \ cdot 10 ^ {10} \, \ mathrm {Hz \, K ^ {- 1}} \ cdot T}$

Aquí, también, la frecuencia del máximo no se obtiene simplemente convirtiendo la longitud de onda del máximo.

Diferentes máximos en la representación de longitud de onda y frecuencia.

El hecho de que la posición del máximo de intensidad sea diferente, dependiendo de si la distribución de la radiación se ve en función de la longitud de onda o de la frecuencia, que no existe una posición objetiva del máximo, se basa en el hecho de que la distribución de la radiación es una densidad. distribución. En la forma de la curva de Planck, las longitudes de onda en ambos máximos de intensidad difieren en un factor de aproximadamente independientemente de la temperatura . En el caso de la luz solar, esto significa z. B. que la intensidad máxima con respecto a la longitud de onda es de 500 nm (verde), pero con respecto a la frecuencia es de aproximadamente 830 nm, es decir, en el infrarrojo cercano, que es invisible para los humanos . ${\ displaystyle 0 {,} 6}$

En el caso de un espectro de radiación, no es posible especificar una intensidad de radiación asociada para una longitud de onda individual determinada. Dado que la potencia de radiación emitida contiene un número finito de vatios en cada intervalo de longitud de onda, pero el intervalo consta de un número infinito de longitudes de onda, se asignan cero vatios a cada longitud de onda individual.

Por lo tanto, no se considera una sola longitud de onda , sino un pequeño intervalo de longitud de onda que rodea la longitud de onda en cuestión, establece la potencia de radiación (finita) contenida en este intervalo en relación con el ancho del intervalo (finito) y permite que el intervalo se reduzca a cero. Aunque la potencia contenida en el intervalo y el ancho del intervalo se acercan a cero, la relación de los dos tiende hacia un valor límite finito, la densidad de potencia espectral en la longitud de onda considerada${\ Displaystyle \ lambda}$${\ Displaystyle \ Delta P (\ lambda)}$${\ Displaystyle \ Delta \ lambda}$ ${\ Displaystyle S _ {\ lambda}}$${\ Displaystyle \ lambda}$

${\ Displaystyle {\ frac {\ Delta P (\ lambda)} {\ Delta \ lambda}} \ to S _ {\ lambda} (\ lambda)}$,

que se mide, por ejemplo, en vatios por micrómetro. Los diagramas que muestran el espectro de la potencia radiada muestran esta cantidad como una curva trazada contra la longitud de onda. El concepto de densidad espectral de potencia es el mismo que el de densidad de masa subyacente , por ejemplo : la masa contenida en un punto dado de un objeto es cero porque un punto no tiene volumen. Pero si observa la masa que está contenida en un pequeño volumen que rodea el punto y forma su relación con el volumen, también obtiene un valor numérico finito para un volumen que se reduce a cero: la densidad de masa en este punto.

Si una densidad de potencia espectral dada en función de la longitud de onda se va a convertir en la representación dependiente de la frecuencia , el valor numérico de se deriva de la condición de que la potencia de radiación contenida en un intervalo de longitud de onda debe ser la misma que en el intervalo de frecuencia , cuyos límites se obtienen convirtiendo los límites del intervalo de longitud de onda. ${\ Displaystyle S _ {\ lambda} (\ lambda)}$${\ Displaystyle S _ {\ nu} (\ nu)}$${\ Displaystyle S _ {\ nu} (\ nu)}$${\ Displaystyle \ Delta \ lambda}$${\ Displaystyle \ Delta P = S _ {\ lambda} (\ lambda) \ \ Delta \ lambda}$${\ Displaystyle \ Delta \ nu}$

Así que considere el intervalo entre las longitudes de onda y , en el caso de la radiación solar, estas longitudes de onda límite podrían estar marcadas, por ejemplo, por líneas de Fraunhofer . La conversión del ancho del intervalo en los resultados de representación dependientes de la frecuencia ${\ Displaystyle \ lambda _ {1}}$${\ Displaystyle \ lambda _ {2}}$

${\ Displaystyle \ Delta \ lambda = \ lambda _ {2} - \ lambda _ {1} = {\ frac {c} {\ nu _ {2}}} - {\ frac {c} {\ nu _ {1 }}} = {\ frac {c (\ nu _ {1} - \ nu _ {2})} {\ nu _ {1} \ nu _ {2}}} = (-) {\ frac {c} {\ nu _ {1} \ nu _ {2}}} \ Delta \ nu}$,

A continuación, se ignora el signo menos, ya que solo son de interés las cantidades de los anchos de intervalo. (El signo menos sólo refleja el hecho de que la frecuencia aumenta cuando la longitud de onda disminuye). Se requieren intervalos infinitesimalmente pequeños para convertir los espectros. Para hacer esto, suelte la expresión anterior o simplemente tome la derivación${\ Displaystyle \ nu _ {1} \ to \ nu _ {2}}$

${\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ lambda} {\ mathrm {d} \ nu}} = {\ frac {\ mathrm {d} (c / \ nu)} {\ mathrm {d} \ nu }} = (-) {\ frac {c} {\ nu ^ {2}}}}$,

De lo que sigue

${\ Displaystyle \ mathrm {d} \ lambda = {\ frac {c} {\ nu ^ {2}}} \ mathrm {d} \ nu}$.

Si, por ejemplo, el eje de longitud de onda se divide en intervalos de longitud de onda igualmente grandes , los intervalos de frecuencia asociados se vuelven cada vez más amplios para frecuencias más grandes. ${\ Displaystyle \ mathrm {d} \ lambda}$${\ Displaystyle \ mathrm {d} \ nu}$

Dado que la potencia de radiación contenida en el intervalo respectivo considerado debe ser la misma independientemente de las variables seleccionadas: ${\ Displaystyle \ mathrm {d} P}$

${\ Displaystyle \ mathrm {d} P = S _ {\ nu} (\ nu) \ \ mathrm {d} \ nu}$,

y al mismo tiempo

${\ Displaystyle \ mathrm {d} P = S _ {\ lambda} (\ lambda) \ \ mathrm {d} \ lambda}$

sigue para la densidad de potencia espectral

${\ Displaystyle S _ {\ nu} (\ nu) \ \ mathrm {d} \ nu = S _ {\ lambda} (\ lambda) \ \ mathrm {d} \ lambda = S _ {\ lambda} (\ lambda ) \ {\ frac {c} {\ nu ^ {2}}} \ \ mathrm {d} \ nu}$

y por lo tanto

${\ Displaystyle S _ {\ nu} (\ nu) = {\ frac {c} {\ nu ^ {2}}} \ S _ {\ lambda} (\ lambda)}$

Por lo tanto, el valor numérico de la densidad de potencia espectral en la representación de frecuencia debe disminuir al aumentar la frecuencia en el mismo factor por el cual aumenta la amplitud de los intervalos de frecuencia.

Por ejemplo, si la fuente de radiación considerada tiene una densidad de potencia espectral constante en la representación de longitud de onda ( ), la densidad de potencia espectral en la representación de frecuencia disminuye cuadráticamente con la frecuencia, es decir, en particular, no es constante: ${\ displaystyle S _ {\ lambda} (\ lambda) = const}$

${\ Displaystyle S _ {\ nu} (\ nu) = {\ frac {\ mathrm {constante}} {\ nu ^ {2}}}}$.

Si la fuente de radiación tiene un máximo a una cierta longitud de onda en la representación de la longitud de onda , esta longitud de onda es constante en un entorno infinitesimal. Entonces, de acuerdo con la explicación anterior, a esta longitud de onda no puede ser constante a esta longitud de onda , es decir, tampoco puede tener un máximo allí. ${\ Displaystyle S _ {\ lambda}}$${\ Displaystyle S _ {\ lambda}}$${\ Displaystyle S _ {\ nu}}$

Las cantidades dependientes de la longitud de onda que no son distribuciones de densidad se convierten de la longitud de onda a la representación de frecuencia asignando la cantidad asignada a la longitud de onda a la frecuencia . Algunos ejemplos son la transmitancia dependiente de la longitud de onda de un filtro o la curva de sensibilidad del ojo dependiente de la longitud de onda . ${\ Displaystyle \ lambda}$${\ Displaystyle \ nu = {\ tfrac {c} {\ lambda}}}$

Derivaciones

Potencia radiante máxima en la pantalla de longitud de onda

La radiación espectral específica de un cuerpo negro de la temperatura se describe mediante la ley de radiación de Planck y se lee en la representación de la longitud de onda: ${\ Displaystyle T}$

${\ Displaystyle M _ {\ lambda} ^ {o} (\ lambda, T) = {\ frac {2 \ pi hc ^ {2}} {\ lambda ^ {5}}} \ cdot {\ frac {1} {e ^ {\ frac {hc} {\ lambda kT}} - 1}}}$

${\ Displaystyle M _ {\ lambda} ^ {o} (\ lambda, T)}$	:	radiación espectral específica en W · m −2 m −1
${\ Displaystyle h \,}$	:	El cuanto de acción de Planck en Js
${\ Displaystyle c \,}$	:	Velocidad de la luz en m · s −1
${\ Displaystyle k \,}$	:	Constante de Boltzmann en J · K −1
${\ Displaystyle T \,}$	:	temperatura absoluta de la superficie del radiador en K
${\ Displaystyle \ lambda \,}$	:	longitud de onda considerada en m

Buscamos la longitud de onda a la que esta función asume el máximo. Estableciendo la derivada en cero rendimientos:${\ Displaystyle \ lambda _ {\ mathrm {max}}}$${\ Displaystyle \ lambda}$

${\ Displaystyle {\ frac {hc} {\ lambda kT}} \ cdot {\ frac {e ^ {\ frac {hc} {\ lambda kT}}}} {e ^ {\ frac {hc} {\ lambda kT }} -1}} - 5 = {\ frac {hc} {\ lambda kT}} \ cdot {\ frac {1} {1-e ^ {- {\ frac {hc} {\ lambda kT}}}} } -5 = 0}$.

La sustitución simplifica la expresión a:${\ Displaystyle x: = {\ frac {hc} {\ lambda kT}}}$

${\ Displaystyle {\ frac {x} {1-e ^ {- x}}} - 5 = 0}$.

La solución numérica da

${\ Displaystyle x = 4 {,} 965 \, 114 \, 231 \, 7 \ dots}$,

y la sustitución hacia atrás conduce a la ley de desplazamiento similar en la representación de la longitud de onda:

${\ Displaystyle \ lambda _ {\ mathrm {max}} = {\ frac {hc} {xkT}} =: {\ frac {b} {T}} = {\ frac {2897 {,} 8 \, \ mathrm {\ mu m \, K}} {T}}}$

Cuando cambia la temperatura, la longitud de onda de la máxima potencia radiante simplemente cambia en proporción inversa a la temperatura absoluta del cuerpo negro: si la temperatura del cuerpo se duplica, la mayor potencia radiada se produce a la mitad de la longitud de onda.

La constante también se conoce como constante de desplazamiento . Dado que el cuanto de acción, la velocidad de la luz y la constante de Boltzmann tienen valores exactos desde la redefinición de las unidades SI en 2019, la constante de desplazamiento también ha sido exacta desde entonces. Su valor exacto es:${\ Displaystyle b}$

${\ Displaystyle b = 2 \, 897 {,} 771 \, 955 \ ldots \, \ mathrm {\ mu m \, K} \}$.

La emisión espectral específica del máximo es proporcional a : ${\ Displaystyle T ^ {5}}$

${\ Displaystyle M _ {\ lambda} ^ {o} (\ lambda _ {\ mathrm {max}}, T) = {\ frac {2 \ pi \, x ^ {5} k ^ {5}} {h ^ {4} c ^ {3}}} {\ frac {1} {e ^ {x} -1}} \ cdot T ^ {5}}$.

Potencia máxima radiada en la representación de frecuencia

En la representación de frecuencia, la radiación espectral específica viene dada por

${\ Displaystyle M _ {\ nu} ^ {o} (\ nu, T) = {\ frac {2 \ pi h \ nu ^ {3}} {c ^ {2}}} {\ frac {1} { e ^ {\ left ({\ frac {h \ nu} {kT}} \ right)} - ​​1}}}$.

Establecer la derivada con respecto a la frecuencia a cero produce: ${\ Displaystyle \ nu}$

${\ Displaystyle 3 - {\ frac {h \ nu} {kT}} {\ frac {1} {1-e ^ {\ left (- {\ frac {h \ nu} {kT}} \ right)}} } = 0}$.

La sustitución simplifica la expresión a . ${\ Displaystyle {\ tilde {x}}: = {\ frac {h \ nu} {kT}}}$${\ Displaystyle 3 - {\ frac {\ tilde {x}} {1-e ^ {- {\ tilde {x}}}}} = 0}$

La solución numérica da

${\ displaystyle {\ tilde {x}} = 2 {,} 8214393721 \ dots}$,

y la sustitución hacia atrás conduce a la ley de desplazamiento similar en la representación de frecuencia:

${\ Displaystyle \ nu _ {\ mathrm {max}} = {\ frac {{\ tilde {x}} kT} {h}} =: b'T = 5 {,} 879 \ cdot 10 ^ {10} \ , \ mathrm {Hz \, K ^ {- 1}} \ cdot T}$

La frecuencia de la máxima potencia radiante cambia proporcionalmente a la temperatura absoluta del radiador. El valor exacto de la constante vienesa b ' en la representación de frecuencia es:

${\ Displaystyle b '= 5 {,} 878 \, 925 \, 757 \ ldots \, \ cdot \, 10 ^ {10} \, \ mathrm {Hz / K}}$.

La emisión espectral específica del máximo es proporcional a : ${\ Displaystyle T ^ {3}}$

${\ Displaystyle M _ {\ nu} ^ {o} (\ nu _ {\ mathrm {max}}, T) = {\ frac {2 \ pi \, {\ tilde {x}} ^ {3} k ^ {3}} {h ^ {2} c ^ {2}}} {\ frac {1} {e ^ {\ tilde {x}} - 1}} \ cdot T ^ {3}}$.

Tasa máxima de fotones en la pantalla de longitud de onda

La emisión espectral específica, expresada por la tasa de emisión de los fotones, se da en la representación de la longitud de onda por

${\ Displaystyle {\ tilde {M}} _ {\ lambda} ^ {o} (\ lambda, T) = {\ frac {2 \ pi c} {\ lambda ^ {4}}} {\ frac {1} {e ^ {\ frac {hc} {\ lambda kT}} - 1}}}$.

Estableciendo la derivada en cero rendimientos: ${\ Displaystyle \ lambda}$

${\ displaystyle {\ frac {hc} {\ lambda kT}} \ cdot {\ frac {1} {1-e ^ {- {\ frac {hc} {\ lambda kT}}}}} - 4 = 0}$.

La sustitución simplifica la expresión a . ${\ Displaystyle x: = {\ frac {hc} {\ lambda kT}}}$${\ Displaystyle {\ frac {x} {1-e ^ {- x}}} - 4 = 0}$

La solución numérica da

${\ displaystyle {\ has {x}} = 3 {,} 9206903948 \ dots}$,

y la sustitución inversa conduce a la ley de desplazamiento similar para la tasa de fotones en la representación de la longitud de onda:

${\ Displaystyle \ lambda _ {\ rm {max}} = {\ frac {hc} {{\ hat {x}} kT}} = {\ frac {3669 {,} 7 \, \ mathrm {\ mu m \ , K}} {T}}}$

La tasa de fotones espectrales del máximo es proporcional a . ${\ Displaystyle T ^ {4}}$

Tasa máxima de fotones en la representación de frecuencia

En la representación de frecuencia, la emisión espectral específica, expresada por la tasa de emisión de los fotones, viene dada por

${\ Displaystyle {\ tilde {M}} _ {\ nu} ^ {o} (\ nu, T) = {\ frac {2 \ pi \ nu ^ {2}} {c ^ {2}}} {\ frac {1} {e ^ {\ left ({\ frac {h \ nu} {kT}} \ right)} - ​​1}}}$.

${\ Displaystyle 2 - {\ frac {h \ nu} {kT}} \, {\ frac {1} {1-e ^ {- ~ {\ frac {h \ nu} {kT}}}}} = 0 }$.

La sustitución simplifica la expresión a . ${\ Displaystyle {\ check {x}}: = {\ frac {h \ nu} {kT}}}$${\ Displaystyle 2 - {\ frac {\ check {x}} {1-e ^ {- {\ check {x}}}}} = 0}$

La solución numérica da

${\ displaystyle {\ check {x}} = 1 {,} 5936242600 \ dots}$,

y la sustitución hacia atrás conduce a la ley de desplazamiento similar para la tasa de fotones en la representación de frecuencia:

${\ Displaystyle \ nu _ {\ rm {max}} = {\ frac {{\ check {x}} kT} {h}} = 3 {,} 320578 \ cdot 10 ^ {10} \, \ mathrm {Hz \, K ^ {- 1}} \ cdot T}$

La tasa de fotones espectrales del máximo es proporcional a . ${\ Displaystyle T ^ {2}}$

Ejemplos de aplicación

Tomando el sol λ _max  ≈ 500  nm y los considera aproximadamente como una cuerpo negro , se sigue de acuerdo con la ley del desplazamiento de Wien el su temperatura de la superficie a aproximadamente 5.800  K . La temperatura determinada de esta manera se llama temperatura . Compárelo con la temperatura efectiva de 5777 K determinada mediante la ley de Stefan-Boltzmann . La diferencia surge del hecho de que el supuesto en el que se basan los dos cálculos, que el sol es un cuerpo negro, se cumple con una buena aproximación, pero no perfectamente.

Los colores brillantes proporcionan información sobre la temperatura de materiales brillantes calientes (por encima de aproximadamente 500 ° C) .

Otros ejemplos son la superficie radiante de la tierra y los gases de efecto invernadero. A temperaturas en el rango de 0 ° C, la radiación máxima está en el rango de infrarrojos alrededor de 10 μm. En el caso de los gases de efecto invernadero, también existe el hecho de que son solo cuerpos negros parcialmente (selectivos).

historia

La versión de la ley del desplazamiento originalmente elaborada por Vienna describía el cambio en toda la curva de distribución de energía de un cuerpo negro con un cambio de temperatura, no solo el cambio en la radiación máxima.

Con base en las investigaciones experimentales de Josef Stefan y la derivación termodinámica de Ludwig Boltzmann , se conoció que la potencia radiante emitida térmicamente por un cuerpo negro con temperatura absoluta aumenta con la cuarta potencia de temperatura ( artículo principal : ley de Stefan-Boltzmann ). Sin embargo, todavía se desconocía la distribución de la energía radiante en las distintas longitudes de onda emitidas. ${\ Displaystyle T}$

Basándose en consideraciones termodinámicas, Vienna pudo derivar una "ley de desplazamiento" que estableció una conexión entre las distribuciones de longitud de onda a diferentes temperaturas. Si se hubiera conocido la forma de la distribución de energía para una temperatura dada, entonces se podría haber obtenido la curva completa para cualquier otra temperatura desplazando y cambiando apropiadamente la forma de la curva: ${\ Displaystyle \ varphi (\ lambda)}$

Por lo tanto, la distribución real de la longitud de onda de la radiación del cuerpo negro aún se desconocía, pero se encontró una condición adicional a la que tenía que estar sujeta en caso de un cambio de temperatura. Con la ayuda de algunas suposiciones adicionales, Viena pudo derivar una ley de radiación que, en el caso de cambios de temperatura, se comporta realmente como lo requiere la ley de desplazamiento. La comparación con el experimento mostró, sin embargo, que esta ley de radiación vienesa en el rango de onda larga entrega valores que son demasiado bajos.

Max Planck finalmente pudo derivar la ley de radiación de Planck a través de una inteligente interpolación entre la ley de Rayleigh-Jeans (correcta para longitudes de onda grandes) y la ley de radiación de Wien (correcta para longitudes de onda pequeñas), que reproduce correctamente la radiación emitida en todos los rangos de longitud de onda.

Hoy en día, la ley de desplazamiento de Wien ya no juega un papel en su versión original, porque la ley de radiación de Planck describe correctamente la distribución espectral a cualquier temperatura y, por lo tanto, no son necesarios "cambios" a la temperatura deseada. Solo el cambio relacionado con la temperatura del máximo de radiación, que ya se puede deducir de la versión original de la ley de cambio, ha sobrevivido bajo el nombre de ley de cambio de Wien .

enlaces web

• Hilke Stümpel: Módulo de aprendizaje "Física de las radiaciones térmicas". Presupuesto de radiación. En: WEBGEO básico / climatología. Instituto de Geografía Física (IPG) de la Universidad de Friburgo , consultado el 8 de agosto de 2017 .  Requiere reproductor Flash .
• Michael Gaedtke: Ley de desplazamiento de Viena : derivación paso a paso. Recuperado el 8 de agosto de 2017 (derivación de la ley del desplazamiento a partir de la fórmula de radiación de Planck). 

Observaciones

1. ↑ Además de los elementos en la simplicidad de utilizar la densidad de potencia espectral total emitida por el emisor también, por ejemplo, una curva de radiancia espectral, emisividad espectral o densidad de energía espectral basada en el volumen presente. Las explicaciones sobre la posición de los máximos se aplican igualmente en todos estos casos.

Evidencia individual

1. ↑ ^{a b} Helmut Kraus: La atmósfera de la Tierra: Introducción a la meteorología . Springer, 2004, ISBN 978-3-540-20656-9 , págs. 101 ( vista previa limitada en la búsqueda de libros de Google). 
2. ↑ ^{a b c d} ver: JB Tatum: Atmósferas estelares. Capítulo 2: Radiación de cuerpo negro. En: Apuntes de conferencias en línea. P.5 PDF 217 KB, consultado el 12 de junio de 2007.
3. ↑ Valores recomendados de CODATA. Instituto Nacional de Estándares y Tecnología, consultado el 4 de junio de 2019 .  Valor por${\ Displaystyle b}$
4. ↑ ^{a b} J. B. Tatum: Atmósferas estelares. Capítulo 2: Radiación de cuerpo negro. En: Apuntes de conferencias en línea. Pág.6 PDF 217 KB, consultado el 12 de junio de 2007.
5. ↑ Valores recomendados de CODATA. Instituto Nacional de Estándares y Tecnología, consultado el 4 de junio de 2019 .  Valor por${\ Displaystyle b '}$
6. ↑ Willy Wien: Una nueva relación entre la radiación del cuerpo negro y la segunda ley de la teoría del calor. Informes de la reunión de la Real Academia de Ciencias de Prusia en Berlín, publ. D. Kgl. Akad. D. Wiss., Berlín 1893, primera mitad del volumen 1893, p. 55 ( versión digitalizada )