Ley de radiación de Planck

Un filamento se ilumina en rojo a aproximadamente 700 ° C y de naranja a amarillo a 2500 ° C.

Max Planck en la primera conferencia de Solvay (1911) con su ley de radiación al fondo de la pizarra

La ley de radiación de Planck, son para la radiación térmica de un cuerpo negro , dependiendo de su temperatura , la distribución de la potencia de radiación electromagnética en función de la longitud de onda o frecuencia a.

Max Planck descubrió la ley de radiación en 1900 y notó que no es posible una derivación dentro del marco de la física clásica . Más bien, resultó necesario introducir un nuevo postulado según el cual el intercambio de energía entre los osciladores y el campo electromagnético no se produce de forma continua, sino en forma de pequeños paquetes de energía (más tarde denominados cuantos ). Por tanto, se considera que la derivación de Planck de la ley de la radiación es la hora del nacimiento de la física cuántica .

Conceptos básicos y significado

Según la ley de radiación de Kirchhoff , la capacidad de absorción y la emisividad de la radiación térmica son proporcionales entre sí para cada cuerpo para cada longitud de onda . Un cuerpo negro (o cuerpo negro ) es un cuerpo hipotético que absorbe completamente la radiación de cualquier longitud de onda e intensidad. Dado que su capacidad de absorción asume el mayor valor posible para cada longitud de onda, su emisividad también asume el valor máximo posible para todas las longitudes de onda. Un cuerpo real (o real ) no puede emitir más radiación térmica en ninguna longitud de onda que un cuerpo negro, que por lo tanto representa una fuente ideal de radiación térmica. Dado que el espectro del cuerpo negro (también llamado espectro de cuerpo negro y espectro de Planck ) no depende de ningún otro parámetro que no sea la temperatura , es un modelo de referencia útil para numerosos propósitos .

Además de la considerable importancia práctica del cuerpo negro, el descubrimiento de la ley de radiación de Planck en 1900 también se considera el nacimiento de la física cuántica , ya que para explicar la fórmula inicialmente encontrada empíricamente , Planck tuvo que asumir que la luz (o La radiación electromagnética en general) no es continua , sino que solo discreta en cuantos (hoy se habla de fotones ) se absorbe y se libera.

Además, la ley de radiación de Planck unió y confirmó regularidades que ya se habían encontrado antes de su descubrimiento, en parte empíricamente y en parte sobre la base de consideraciones termodinámicas:

• la ley de Stefan-Boltzmann , que especifica la potencia radiada de un cuerpo negro (proporcional a T ⁴ ).
• la ley de Rayleigh-Jeans , que describe la distribución de energía espectral para longitudes de onda largas.
• la ley de radiación de Wien , que representa la distribución de energía espectral para longitudes de onda pequeñas.
• la ley de desplazamiento de Wien , que establece la relación entre el máximo de emisión de un cuerpo negro y su temperatura.

Derivación e historia

Como ejemplo simplificado, considere una cavidad en forma de cubo de longitud lateral y volumen que contiene radiación electromagnética de cavidad en equilibrio térmico. Sólo las ondas estacionarias pueden desarrollarse en equilibrio; las ondas permitidas pueden correr en cualquier dirección, pero deben cumplir la condición de que un número entero de medias ondas encajen entre dos superficies de cavidades opuestas. La razón de esto es la siguiente: dado que las ondas electromagnéticas no pueden existir dentro de las paredes de la cavidad, las intensidades de los campos eléctrico y magnético son cero. Esto significa que los nodos de las ondas deben estar en las superficies de las paredes internas. De modo que solo se permiten ciertos estados de oscilación discretos; toda la radiación de la cavidad está compuesta por estas ondas estacionarias. ${\ Displaystyle L}$${\ Displaystyle V}$

La densidad de estados

El número de estados de oscilación permitidos aumenta a frecuencias más altas porque hay más posibilidades de que las ondas con una longitud de onda más pequeña encajen en la cavidad de tal manera que se cumplan las condiciones enteras para sus componentes en -, - y - dirección. El número de estos estados de oscilación permitidos en el intervalo de frecuencia entre y y por volumen se denomina densidad de estados y se calcula de la siguiente manera ${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle y}$${\ Displaystyle z}$${\ Displaystyle \ nu}$${\ Displaystyle \ nu + \ mathrm {d} \ nu}$${\ Displaystyle g (\ nu) \, \ mathrm {d} \ nu}$

${\ Displaystyle g (\ nu) \, \ mathrm {d} \ nu \, = \, {\ frac {8 \ pi} {c ^ {3}}} \, \ nu ^ {2} \, \ mathrm {d} \ nu}$.

El desastre ultravioleta

Ahora se entiende cada uno de estos estados de oscilación por intervalo de frecuencia como un oscilador armónico de la frecuencia . Si todos los osciladores oscilan en equilibrio térmico a la temperatura , entonces, de acuerdo con la ley de distribución uniforme de la termodinámica clásica, uno esperaría que cada uno de estos osciladores lleve la energía cinética y la energía potencial , es decir, la energía total . ¿Dónde está la constante de Boltzmann ? La densidad de energía de la radiación de la cavidad en el intervalo de frecuencia entre y , por lo tanto, sería el producto de la densidad de estados de los estados de oscilación permitidos y la energía promedio para cada estado de oscilación clásico , es decir, ${\ Displaystyle \ nu}$${\ Displaystyle T}$${\ Displaystyle kT / 2}$${\ Displaystyle kT / 2}$${\ Displaystyle kT}$${\ Displaystyle k}$${\ Displaystyle \ nu}$${\ Displaystyle \ nu + \ mathrm {d} \ nu}$${\ Displaystyle g (\ nu) \, \ mathrm {d} \ nu}$${\ Displaystyle kT}$

${\ Displaystyle U _ {\ nu} ^ {RJ} (\ nu, T) \, \ mathrm {d} \ nu \, = \, {\ frac {8 \ pi} {c ^ {3}}} \ , kT \, \ nu ^ {2} \, \ mathrm {d} \ nu}$.

Ésta es la ley de radiación de Rayleigh-Jeans . Refleja la densidad de energía realmente medida a bajas frecuencias, pero predice incorrectamente una densidad de energía que siempre aumenta cuadráticamente con frecuencias más altas, por lo que la cavidad tendría que contener una energía infinita integrada en todas las frecuencias ( catástrofe ultravioleta ). El problema es: cada estado de oscilación existente solo transporta la energía en promedio , pero de acuerdo con las consideraciones clásicas , se excita un número infinito de tales estados de oscilación, lo que conduciría a una densidad de energía infinita en la cavidad. ${\ Displaystyle kT}$

La solución empírica

En su derivación de la ley de radiación, Planck no se basó en el enfoque de Rayleigh, sino que partió de la entropía y agregó varios términos adicionales a las ecuaciones a modo de prueba, que, según el conocimiento de la física en ese momento, eran incomprensibles, pero tampoco los contradecía. Un término adicional que condujo a una fórmula que describía las curvas espectrales ya medidas muy bien fue particularmente simple (1900). Esta fórmula siguió siendo puramente empírica , pero describió correctamente las mediciones experimentales conocidas en todo el espectro de frecuencias. Pero Planck no estaba satisfecho con eso. Logró reemplazar las constantes de radiación y de la fórmula vienesa con constantes naturales, solo quedó un factor ("ayuda"). ${\ Displaystyle C}$${\ Displaystyle c}$${\ Displaystyle h}$

La hipótesis cuántica

Basado en la fórmula de radiación empírica mejorada, Planck alcanzó un resultado histórico en unos pocos meses. Fue la hora del nacimiento de la física cuántica. Contra su propia convicción, Planck tuvo que admitir que solo podía derivar la curva confirmada por el experimento si la producción de energía no se producía de forma continua, sino solo en múltiplos de las unidades más pequeñas en cada frecuencia. Estas unidades tienen el tamaño , por lo que hay una nueva constante natural fundamental, que pronto se denominó cuanto de acción de Planck . Esta es la hipótesis cuántica presentada por Planck . ${\ Displaystyle h \ nu}$${\ Displaystyle h}$

En consecuencia, se requiere una energía mínima para que un oscilador de la frecuencia se excite en absoluto. Los osciladores, cuyas energías mínimas son significativamente más altas que la energía media disponible térmicamente , apenas pueden o no pueden excitarse, permanecen congelados . Aquellos, cuya energía mínima está solo ligeramente por encima , pueden excitarse con cierta probabilidad, de modo que una cierta fracción de ellos con sus estados vibratorios contribuyan a la radiación total de la cavidad. Solo los estados de vibración con baja energía mínima , es decir, frecuencias más bajas, pueden absorber con seguridad la energía térmica ofrecida y se excitan de acuerdo con el valor clásico. ${\ Displaystyle h \ nu}$${\ Displaystyle \ nu}$${\ Displaystyle kT}$${\ Displaystyle kT}$${\ Displaystyle h \ nu}$

Estados vibracionales cuantificados

La termodinámica estadística muestra que al aplicar la hipótesis cuántica y las estadísticas de Bose-Einstein, un estado de oscilación de la frecuencia transporta la siguiente energía en promedio: ${\ Displaystyle \ nu}$

${\ Displaystyle E (\ nu, T) \, = {\ frac {h \ nu} {\ mathrm {e} ^ {\ left ({\ frac {h \ nu} {kT}} \ right)} - 1}}}$.

Como se sabe, se aplica a muy pequeños ; así, la relación clásica continúa para las bajas frecuencias ; para altas frecuencias, por otro lado, es significativamente menor y se acerca rápidamente a cero. ${\ Displaystyle \ mathrm {e} ^ {x} -1 \ approx x}$${\ Displaystyle x}$${\ textstyle h \ nu \ ll kT}$${\ estilo de texto E (\ nu, T) \ approx kT}$${\ textstyle h \ nu \ gg kT}$${\ estilo de texto E (\ nu, T)}$

Tales estados de oscilación electromagnética con altas frecuencias bien podrían existir en la cavidad de acuerdo con criterios geométricos, pero la relación anterior significa que difícilmente pueden excitarse con un suministro de energía térmica promedio porque su umbral de excitación es demasiado alto. Por tanto, estos estados contribuyen menos a la densidad de energía en la cavidad. ${\ textstyle kT}$${\ textstyle h \ nu}$

La ley de la radiacion

El producto de la densidad de estados de los estados de oscilación permitidos y la energía media por estado de oscilación cuantificado ya da la densidad de energía de Planck en la cavidad. ${\ Displaystyle g (\ nu) \, \ mathrm {d} \ nu}$${\ Displaystyle E (\ nu, T) \,}$

${\ Displaystyle U _ {\ nu} ^ {o} (\ nu, T) \, \ mathrm {d} \ nu = \, {\ frac {8 \ pi h \ nu ^ {3}} {c ^ { 3}}} {\ frac {1} {\ mathrm {e} ^ {h \ nu / kT} -1}} \, \ mathrm {d} \ nu}$.

Debido a que la energía media disminuye más fuertemente a altas frecuencias que la densidad de estados aumenta, la densidad de energía espectral, como su producto, disminuye nuevamente hacia frecuencias más altas, después de que ha pasado por un máximo, y la densidad de energía total permanece finita. Con la ayuda de su tesis cuántica, Planck explicó por qué la catástrofe ultravioleta predicha por la termodinámica clásica no ocurre realmente.

Estrictamente hablando, no existe un sistema en equilibrio termodinámico con radiación en la habitación, pero un equilibrio con el campo de radiación aún puede establecerse directamente sobre la superficie del cuerpo. Dado que esta energía se aleja con velocidad y se propaga en todas las direcciones espaciales, el resplandor espectral se obtiene multiplicando la densidad de energía por el factor${\ Displaystyle c}$${\ textstyle c / 4 \ pi}$

${\ Displaystyle L _ {\ nu} (T) = \, {\ frac {2h \ nu ^ {3}} {c ^ {2}}} {\ frac {1} {\ mathrm {e} ^ {h \ nu / kT} -1}}}$.

sentido

Espectros de radiación de Planck para diferentes temperaturas

Espectros de radiación de Planck para diferentes temperaturas en una gráfica logarítmica doble

La primera imagen adyacente muestra los espectros de radiación de Planck de un cuerpo negro para varias temperaturas entre 300 K y 1000 K en una representación lineal. La forma típica se puede ver con un máximo de radiación claramente pronunciado, una caída pronunciada hacia longitudes de onda cortas y una caída más larga hacia longitudes de onda más grandes. La posición del máximo de radiación cambia , como lo requiere la ley de desplazamiento de Wien , con el aumento de temperatura a longitudes de onda más cortas. Al mismo tiempo se toma según la ley de Stefan-Boltzmann , la emisividad total (potencia de radiación del área ) con la cuarta potencia de la temperatura absoluta a ${\ Displaystyle P}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle T}$

${\ Displaystyle P = \ sigma AT ^ {4}}$

con la constante de Stefan-Boltzmann . ${\ Displaystyle \ textstyle \ sigma \ approx 5 {,} 67 \ cdot 10 ^ {- 8} \ mathrm {\ frac {W} {m ^ {2} K ^ {4}}}}$

Este aumento desproporcionado de la intensidad de la radiación al aumentar la temperatura explica la importancia cada vez mayor de la radiación de calor al aumentar la temperatura en comparación con el calor emitido por convección. Al mismo tiempo, esta relación dificulta la representación de las curvas de radiación en un rango de temperatura más amplio en un diagrama.

Por tanto, la segunda imagen utiliza una subdivisión logarítmica para ambos ejes. Aquí se muestran los espectros para temperaturas entre 100 K y 10,000 K.

La curva para 300 K está resaltada en rojo, que corresponde a las temperaturas ambientales típicas. El máximo de esta curva es de 10 μm; En el rango alrededor de esta longitud de onda, el infrarrojo medio (MIR), el intercambio de radiación de los objetos tiene lugar a temperatura ambiente. En esta zona funcionan termómetros infrarrojos para bajas temperaturas y cámaras termográficas .

La curva de 3000 K corresponde al espectro de radiación típico de una lámpara incandescente . Ahora parte de la radiación emitida ya se emite en el rango espectral visible indicado esquemáticamente . Sin embargo, el máximo de radiación sigue estando en el infrarrojo cercano (NIR).

La curva de 5777 K, la temperatura efectiva del sol , está resaltada en amarillo . Su máximo de radiación se encuentra en el medio del rango espectral visible. Afortunadamente, la mayor parte de la radiación ultravioleta emitida por el sol es filtrada por la capa de ozono de la atmósfera terrestre .

La ley de radiación de Planck está representada en varias variantes de fórmula que usan cantidades para intensidades , densidades de flujo y distribuciones espectrales que son apropiadas para los hechos bajo consideración. Todas las formas de los diferentes tamaños de radiación son solo formas diferentes de una ley.

Fórmulas y unidades de uso frecuente

Existen numerosas variantes diferentes para la representación matemática de la ley, dependiendo de si la ley debe formularse en función de la frecuencia o de la longitud de onda, si la intensidad de la radiación debe considerarse en una determinada dirección o la radiación en el conjunto. medio espacio, ya sea que se consideren los tamaños de haz, se describirán las densidades de energía o los números de fotones.

A menudo se utiliza la fórmula para la radiación espectral específica de un cuerpo negro de temperatura absoluta . Para ellos se aplica ${\ Displaystyle M _ {\ nu} ^ {o} (\ nu, T)}$${\ Displaystyle T}$

en la pantalla de frecuencia:

${\ Displaystyle M _ {\ nu} ^ {o} (\ nu, T) \, \ mathrm {d} A \, \ mathrm {d} \ nu \, = {\ frac {2 \ pi h \ nu ^ {3}} {c ^ {2}}} {\ frac {1} {\ mathrm {e} ^ {h \ nu / kT} -1}} \ mathrm {d} A \, \ mathrm {d} \ nu}$

Unidad SI de : W m −2 Hz −1${\ Displaystyle M _ {\ nu} ^ {o} (\ nu, T)}$

y en la pantalla de longitud de onda:

${\ Displaystyle M _ {\ lambda} ^ {o} (\ lambda, T) \, \ mathrm {d} A \, \ mathrm {d} \ lambda \, = {\ frac {2 \ pi hc ^ {2 }} {\ lambda ^ {5}}} {\ frac {1} {\ mathrm {e} ^ {hc / \ lambda kT} -1}} \ mathrm {d} A \, \ mathrm {d} \ lambda }$

Unidad SI de : W m −2 m −1 . ${\ Displaystyle M _ {\ lambda} ^ {o} (\ lambda, T)}$

${\ Displaystyle M _ {\ nu} ^ {o} (\ nu, T) \, \ mathrm {d} A \, \ mathrm {d} \ nu}$es la potencia radiante que es irradiada por el elemento de superficie en el rango de frecuencia entre y hacia el medio espacio completo. A continuación, se encuentran la constante de Planck , la velocidad de la luz y la constante de Boltzmann . ${\ Displaystyle \ mathrm {d} A}$${\ Displaystyle \ nu}$${\ Displaystyle \ nu + \ mathrm {d} \ nu}$${\ Displaystyle h}$${\ Displaystyle c}$${\ Displaystyle k}$

Para el resplandor espectral, se aplica lo siguiente en consecuencia:

en la pantalla de frecuencia:

${\ Displaystyle L _ {\ nu} ^ {o} (\ nu, T) \, \ cos (\ beta) \, \ mathrm {d} A \, \ mathrm {d} \ nu \, \ mathrm {d } \ Omega = {\ frac {2h \ nu ^ {3}} {c ^ {2}}} {\ frac {1} {e ^ {h \ nu / kT} -1}} \ cos (\ beta) \, \ mathrm {d} A \, \ mathrm {d} \ nu \, \ mathrm {d} \ Omega}$

y en la pantalla de longitud de onda:

${\ Displaystyle L _ {\ lambda} ^ {o} (\ lambda, T) \, \ cos (\ beta) \, \ mathrm {d} A \, \ mathrm {d} \ lambda \, \ mathrm {d } \ Omega = {\ frac {2hc ^ {2}} {\ lambda ^ {5}}} {\ frac {1} {e ^ {hc / \ lambda kT} -1}} \ cos (\ beta) \ , \ mathrm {d} A \, \ mathrm {d} \ lambda \, \ mathrm {d} \ Omega}$

con

${\ Displaystyle L _ {\ nu} ^ {o} (\ nu, T) \, \ cos (\ beta) \, \ mathrm {d} A \, \ mathrm {d} \ nu \, \ mathrm {d } \ Omega}$es la potencia radiante desde el elemento de superficie en el rango de frecuencia y porque entre los ángulos de acimut y y los ángulos polares y espacio abarcó elemento angular es radiada. La dependencia direccional de esta potencia de radiación se debe únicamente al factor geométrico ; el resplandor espectral en sí mismo es independiente de la dirección. ${\ Displaystyle \ mathrm {d} A}$${\ Displaystyle \ nu}$${\ Displaystyle \ nu + \ mathrm {d} \ nu}$${\ Displaystyle \ varphi}$${\ Displaystyle \ varphi + \ mathrm {d} \ varphi}$${\ Displaystyle \ beta}$${\ Displaystyle \ beta + \ mathrm {d} \ beta}$${\ Displaystyle \ mathrm {d} \ Omega}$${\ Displaystyle \ cos}$

Al convertir entre representación de frecuencia y longitud de onda, debe tenerse en cuenta que debido a

${\ Displaystyle \ lambda = {\ frac {c} {\ nu}}}$

es aplicable

${\ Displaystyle | \ mathrm {d} \ lambda | = {\ frac {c} {\ nu ^ {2}}} | \ mathrm {d} \ nu | \ quad {\ text {y}} \ quad | \ mathrm {d} \ nu | = {\ frac {c} {\ lambda ^ {2}}} | \ mathrm {d} \ lambda |}$.

Con la ayuda de las dos constantes de radiación y , la radiación espectral específica también se puede escribir en la forma: ${\ Displaystyle c_ {1} = 2 \ pi hc ^ {2} \,}$${\ Displaystyle c_ {2} = {\ tfrac {hc} {k}}}$

${\ Displaystyle M _ {\ lambda} ^ {o} (\ lambda, T) \, \ mathrm {d} A \, \ mathrm {d} \ lambda \, = {\ frac {c_ {1}} {\ lambda ^ {5}}} {\ frac {1} {\ mathrm {e} ^ {c_ {2} / \ lambda T} -1}} \ mathrm {d} A \, \ mathrm {d} \ lambda}$.

Si la radiancia espectral se integra en todas las frecuencias o longitudes de onda, se calcula la radiancia total : ${\ Displaystyle L ^ {o} (T)}$

${\ Displaystyle L ^ {o} (T) \ cos (\ beta) \, \ mathrm {d} A \, \ mathrm {d} \ Omega = \ int _ {\ nu = 0} ^ {\ infty} L_ {\ nu} ^ {o} (\ nu, T) \ cos (\ beta) \, \ mathrm {d} A \, \ mathrm {d} \ nu \, \ mathrm {d} \ Omega}$

La evaluación de los rendimientos integrales por : ${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {x ^ {3}} {e ^ {x} -1}} \, \ mathrm {d} x = {\ frac {\ pi ^ {4}} {15}}}$

${\ Displaystyle L ^ {o} (T) \ cos (\ beta) \, \ mathrm {d} A \, \ mathrm {d} \ Omega = {\ frac {2 \ pi ^ {4} k ^ {4 }} {15h ^ {3} c ^ {2}}} T ^ {4} \ cos (\ beta) \, \ mathrm {d} A \, \ mathrm {d} \ Omega}$.

Ver también

• Cuerpo gris
• Brasas (emisión de luz)
• Intercambio de radiación

literatura

• Hans Dieter Baehr, Karl Stephan : Transferencia de calor y masa. 4ª edición. Springer, Berlín 2004, ISBN 3-540-40130-X (Capítulo 5: Radiación térmica).
• Dieter Hoffmann: 100 años de física cuántica: cuerpos negros en el laboratorio . Trabajo preliminar experimental para la hipótesis cuántica de Planck. En: Hojas físicas . cinta 56 , no. 12 , 1 de diciembre de 2000, págs. 43-47 , doi : 10.1002 / phbl.20000561215 ( wiley.com [PDF; 765 kB ]). 
• Gerd Wedler: Libro de texto de química física. 4ª edición. Wiley-VCH, Weinheim 1997, ISBN 3-527-29481-3 , págs. 111-114 y págs. 775-779.
• Thomas Engel, Philip Reid: Química física. Pearson, Munich 2006, ISBN 3-8273-7200-3 , págs. 330-332.

enlaces web

• Fórmula de radiación de Planck
• Sobre la historia del descubrimiento de las leyes de la radiación.
• Derivación de la fórmula de radiación de Planck según Einstein . (Universidad de Ulm)

Evidencia individual

1. ↑ FACSÍMIL DE LAS NEGOCIACIONES DEL PHYSIKALISCHEN GESELLSCHAFT 2 (1900) p. 237: Sobre la teoría de la ley de distribución de energía en el espectro normal; por M. Planck . En: Hojas físicas . cinta 4 , no. 4 , 1948, ISSN  1521-3722 , págs. 146-151 , doi : 10.1002 / phbl.19480040404 . 
2. ↑ ¿Qué es un cuerpo negro? - α-Centauri , episodio 129 , el 3 de septiembre de 2003; ver también 129 ¿Qué es un cuerpo negro? (publicado en YouTube el 4 de mayo de 2011, ibid alrededor de las 6:20 am [es decir, de los 6 minutos y 20 segundos] con: “[...] el llamado espectro del cuerpo negro o - como también se llama hoy se convierte en - el espectro de Planck [...] ")
3. ↑ El Universo, Parte 1: Astrofísica - Harald Lesch , 2011
4. ↑ Contrariamente a las representaciones populares, la ley de Rayleigh-Jeans y la catástrofe ultravioleta no jugaron ningún papel en el descubrimiento de Planck de la ley de radiación. La divergencia físicamente absurda de la ley de Rayleigh-Jeans a altas frecuencias de radiación fue descrita por primera vez en 1905 (independientemente entre sí) por Einstein, Rayleigh y Jeans. El término "catástrofe ultravioleta" fue utilizado por primera vez por Paul Ehrenfest en 1911 (ver Paul Ehrenfest: ¿Qué características de la hipótesis cuántica de luz juegan un papel esencial en la teoría de la radiación térmica? En: Annalen der Physik . Volume 341 , no. 11 de enero de 1911, pág. 91-118 , doi : 10.1002 / andp.19113411106 .  )
5. ↑ D. Giulini, N. Straumann: "... No pensé mucho en eso ..." El extraño camino de Planck hacia la fórmula de radiación . En: Hojas físicas . cinta 56 , no. 12 , 2000, págs. 37-42 , arxiv : quant-ph / 0010008 . 
6. ↑ z. BA Unsöld, B. Baschek: El nuevo cosmos . 6a edición, Springer, Berlín 1999, p. 110.
7. ↑ H. Karttunen, P. Kröger, H. Oja, M. Poutanen, KJ Donner: Astronomía fundamental . 3a edición, Springer, 2000, p. 119.