Átomo de hidrógeno

El átomo de ¹ H en el mapa de nucleidos

Un átomo de hidrógeno es un átomo de la elemento químico de hidrógeno (símbolo: H). El átomo consta de un solo núcleo cargado positivamente (con un protón y, para los isótopos naturales , de cero a dos neutrones ) y un electrón cargado negativamente . El electrón y el núcleo atómico están unidos entre sí debido a su carga eléctrica opuesta ( ley de Coulomb ).

El átomo de hidrógeno tiene la estructura más simple de todos los átomos y proporciona la clave para comprender la estructura y las propiedades de todos los átomos . Es el único átomo para el que la ecuación de Schrödinger de la mecánica cuántica es analítica, es decir, H. en forma matemáticamente cerrada, se puede resolver. Las líneas espectrales del átomo de hidrógeno se pueden calcular con alta precisión y se pueden comparar con los valores medidos, como B. las líneas multiplett más famosas , la serie Balmer .

El átomo de hidrógeno como un excelente ejemplo del desarrollo de la física atómica

Los principios de la física atómica , que se derivaron gradualmente del átomo de hidrógeno , forman ahora la base para describir todos los átomos.

Antes de 1913

William Prout planteó la hipótesis en 1815 de que los átomos de toda la materia están formados por átomos de hidrógeno. Como justificación, afirmó que, según John Dalton , el hidrógeno tiene el peso atómico más pequeño de todos (también correcto hoy) y los pesos atómicos de otros elementos son un múltiplo integral de esto; esto, sin embargo, ya era incorrecto según lo que se conocía en ese momento, por lo que ver Isótopos . Según la visión actual, este proceso de construcción tiene lugar durante la nucleosíntesis en las supernovas.

En 1885, Johann Balmer encontró una relación matemática entre las longitudes de onda de las cuatro líneas espectrales visibles del átomo de hidrógeno que podrían representarse mediante números enteros simples, la fórmula de Balmer . Después del descubrimiento (por Robert Wilhelm Bunsen y Gustav Robert Kirchhoff en 1860) de que cada elemento muestra líneas espectrales específicas, asumió que una explicación para esto probablemente se encontraría en el caso del hidrógeno, porque tiene el peso atómico más ligero y el muestra el espectro de línea más simple. Balmer usó su fórmula para predecir la ubicación exacta de otras líneas en el ultravioleta y luego se enteró, para su sorpresa, de que ya se habían encontrado allí precisamente en los espectros de estrellas.

Joseph John Thomson identificó el electrón como un componente universal de toda la materia en 1897 y en 1903 formuló un modelo del átomo con una carga positiva sin masa del tamaño del átomo y una cantidad suficiente de electrones para explicar la masa atómica, para el átomo de H no menos de 2000 Los electrones deben estar distribuidos en la carga positiva como " las pasas en el pastel " y ser capaces de oscilar alrededor de su posición de reposo, lo que hace que la emisión y absorción de luz de ciertas frecuencias sea explicable en el contexto de la clásica física, así como la dispersión de luz y rayos X. Se prestó especial atención al hecho de que este modelo también podría explicar la división de la frecuencia de la luz en el campo magnético, al menos en aquellos casos en los que se vio una división triple ( efecto Zeeman normal , 1896). Seguía siendo inexplicable cómo una disposición semejante podía ser tan estable como obviamente lo son los átomos. Además, a partir de 1906, la dispersión de los rayos X resultó ser mucho más débil de lo previsto, lo que habla de un número mucho menor de electrones en el átomo: del hidrógeno, como mucho unos pocos.

Arthur Haas demostró por primera vez en 1910 que, con la ayuda de la constante h de Planck , descubierta en 1900, se puede establecer una fórmula que proporcione valores correctos para el radio y la energía de enlace del átomo de hidrógeno. Esta fue la primera aplicación de la fórmula de Planck, que hasta entonces se había utilizado casi exclusivamente para ondas de luz y otras oscilaciones armónicas, a un problema en la mecánica del átomo, y fue rechazada en gran medida precisamente por esta razón. Haas miró un electrón (carga -e ) en una trayectoria circular en la superficie de una esfera cargada positivamente con la carga + e y puso su energía potencial E _pot y la frecuencia de rotación f , ambas determinadas según la física clásica, en la relación . El resultado ya corresponde exactamente al estado básico del modelo de Bohr. ${\ Displaystyle E = h \, f}$${\ Displaystyle E _ {\ mathrm {bote}} = h \, f}$

1913-1925

En 1913, Niels Bohr mostró en su modelo atómico de Bohr que con la suposición de un núcleo atómico pequeño, positivo y pesado (basado en el descubrimiento de Ernest Rutherford en 1911) y suposiciones adicionales (más tarde refinadas y llamadas postulados de Bohr ) las energías del átomo de H también se puede calcular correctamente en estados excitados. Aunque estos postulados significaron rupturas radicales con la física clásica, el modelo rápidamente se hizo popular, porque no solo podía usar la fórmula de Balmer, sino también el espectro del átomo de helio ionizado (un electrón orbita un núcleo atómico con el doble de su carga y cuatro veces más). masa) Explique correctamente, incluido el pequeño efecto de las distintas masas nucleares, así como las energías de los rayos X duros de los elementos más pesados.

En 1916, Arnold Sommerfeld amplió el modelo para incluir órbitas elípticas para crear el modelo atómico de Bohr-Sommerfeld . Descubrió los tres números cuánticos espaciales y la cuantificación direccional del momento angular, para poder explicar la división (de números impares) de los niveles de energía en el campo magnético . Teniendo en cuenta la teoría especial de la relatividad, se podrían interpretar más sutilezas de las líneas espectrales del átomo de H. Sin embargo, al igual que el modelo de Bohr, el modelo falló con átomos con varios electrones.

Desde 1925

Mecánica cuántica

El avance del modelo actual se produjo en 1925/26 con el descubrimiento de la mecánica cuántica por Werner Heisenberg ( mecánica matricial ) y Erwin Schrödinger ( mecánica ondulatoria ). La nueva forma de ecuaciones de movimiento hace que los postulados de Bohr sean superfluos. La piedra de toque de las nuevas teorías fue el cálculo exacto del átomo de H. Wolfgang Pauli tuvo éxito por primera vez con la mecánica matricial . El primer cálculo basado en la mecánica ondulatoria (ver más abajo), que proporciona la forma geométrica de los orbitales de los electrones además de las energías , fue presentado por el propio Schrödinger. Los sistemas con más de un electrón tampoco pueden tratarse aquí con precisión matemática, pero los métodos de aproximación permiten calcular el comportamiento de los átomos con muchos electrones con alta precisión. El modelo de la mecánica cuántica condujo al modelo de capa y, por lo tanto, a la comprensión de la estructura de la tabla periódica de los elementos y la formación de moléculas en el enlace químico .

Mecánica cuántica relativista

Cuando Paul Dirac publicó la formulación relativistamente correcta de la mecánica cuántica en 1927 , no solo pudo explicar más sutilezas de las líneas espectrales del átomo de hidrógeno, sino también las propiedades previamente incomprensibles del electrón, como el espín y el momento magnético anómalo . Esto también entendió la división en números pares de los niveles de energía en el efecto Zeeman anómalo . Además, la ecuación de Dirac resultó en la nueva predicción de antipartículas .

Electrodinámica cuántica

La polarización del vacío teóricamente esperada en el contexto de la electrodinámica cuántica a través de pares virtuales de partículas y antipartículas se demostró por primera vez en átomos de H en 1947 utilizando una división extremadamente pequeña de un nivel de energía ( desplazamiento de Lamb ). Esto ayudó a la electrodinámica cuántica, en particular al proceso de renormalización requerido en la misma , a lograr un gran avance. Hans Bethe y E. Salpeter demostraron en 1952 que la electrodinámica cuántica también ofrece una explicación de la atracción electrostática clásica a través del intercambio de fotones virtuales basándose en otro cálculo preciso de los niveles de energía del átomo de H ( ecuación de Bethe-Salpeter ).

Grupo dinámico

Durante su primer tratamiento del átomo de hidrógeno en la mecánica matricial de Heisenberg, Wolfgang Pauli había encontrado una manera de tener en cuenta las propiedades precisas del potencial de Coulomb simplemente agregando una constante adicional, el vector de Laplace-Runge-Lenz . Matemáticamente, esto corresponde a una simetría rotacional en 4 dimensiones ( grupo de simetría O (4)). Al expandirse al grupo de simetría dinámica O (4,2), Hagen Kleinert pudo combinar no solo los términos de energía, sino también los elementos de la matriz dipolar para todas las transiciones atómicas en una representación de grupo irreductible.

Integral de ruta

En 1979, Hagen Kleinert encontró una solución para el átomo de hidrógeno en el enfoque integral de la trayectoria de Feynman hacia la mecánica cuántica , ampliando así el alcance de este método, que es importante en la mecánica cuántica moderna.

Investigaciones experimentales de los espectros de líneas ópticas

Niveles de energía y transiciones del hidrógeno en serie.

Las líneas espectrales en el espectro de absorción y emisión del átomo de hidrógeno se han investigado desde 1862 . Son causados ​​por la transición del electrón ligado de un nivel más alto a uno más bajo (emisión) o viceversa (absorción). Las posibles líneas se clasifican según el nivel básico y reciben el nombre de sus respectivos descubridores. Matemáticamente, las transiciones han sido descritas por la fórmula de Rydberg desde 1888 . Albert A. Michelson descubrió en 1892 que las líneas espectrales muestran finas divisiones. Algunos de estos solo pudieron explicarse en 1916 por el modelo atómico de Bohr-Sommerfeld , y completamente por la mecánica cuántica a partir de 1926 .

Solución de la ecuación de Schrödinger (problema del hidrógeno)

La ecuación de Schrödinger más simple para una partícula cargada en el campo de Coulomb de una carga puntual se llama problema del hidrógeno . Esta ecuación diferencial parcial tridimensional se puede dividir en tres ecuaciones independientes debido a la simetría esférica de la interacción electromagnética . Cada una de las tres ecuaciones individuales se puede resolver matemáticamente con exactitud.

Una de las ecuaciones da la forma de la dependencia de la distancia de la función de onda del electrón en los estados de energía y los valores de energía del electrón en el átomo de hidrógeno. Es común referirse a los diversos valores de energía discretos sobre el número cuántico principal como . El estado de energía más profundo se llama . ${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle E_ {n}}$${\ Displaystyle E_ {1}}$

Las otras dos ecuaciones contienen la dependencia angular de la función de onda con el número cuántico del momento angular orbital y el número cuántico magnético . ${\ Displaystyle \ ell}$${\ Displaystyle m}$

El átomo de hidrógeno es uno de los pocos sistemas de mecánica cuántica que se puede calcular con precisión. La solución de la ecuación de Schrödinger para el átomo de hidrógeno es, por tanto, un ejemplo estándar de educación universitaria en física y química.

Detalles matemáticos

Diferentes orbitales de hidrógeno con m = 0

Para el sistema de un electrón (masa , ubicación , carga ) y el núcleo atómico (masa , ubicación , carga , donde es un número entero), donde la interacción de Coulomb determina la energía potencial, la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo se aplica primero : ${\ Displaystyle m_ {e}}$${\ Displaystyle {\ vec {r}} _ {e}}$${\ Displaystyle -e}$${\ Displaystyle m_ {k}}$${\ Displaystyle {\ vec {r}} _ {k}}$${\ Displaystyle Z \ cdot e}$${\ Displaystyle Z}$

${\ Displaystyle \ left (- {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m_ {e}}} \ Delta _ {e} - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m_ {k}}} \ Delta _ {k} - {\ frac {Ze ^ {2}} {4 \ pi \ varepsilon _ {0} | {\ vec {r}} _ {e} - {\ vec {r}} _ {k } |}} \ derecha) \ Psi ({\ vec {r}} _ {e}, {\ vec {r}} _ {k}) = \ mathrm {E} \ Psi ({\ vec {r}} _ {e}, {\ vec {r}} _ {k})}$.

Los operadores de Laplace son cada uno de los segundos derivados espaciales (parciales) de acuerdo con las coordenadas o . Con la transición al sistema del centro de gravedad y la consideración del movimiento relativo ( ) del electrón y el núcleo atómico, la siguiente ecuación de Schrödinger resulta después de la separación: ${\ Displaystyle \ Delta _ {e}, \ Delta _ {k}}$${\ Displaystyle {\ vec {r}} _ {e}}$${\ Displaystyle {\ vec {r}} _ {k}}$${\ Displaystyle {\ vec {r}} = {\ vec {r}} _ {e} - {\ vec {r}} _ {k}}$

${\ Displaystyle \ left (- {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2 \ mu}} \ Delta - {\ frac {Ze ^ {2}} {4 \ pi \ varepsilon _ {0} r}} \ right) \ Psi ({\ vec {r}}) = \ mathrm {E} \ Psi ({\ vec {r}})}$.

Es la masa reducida del sistema. Esto puede deberse al enfoque. Por lo demás, esta ecuación es idéntica a la ecuación de Schrödinger de una partícula en un potencial esféricamente simétrico. La separación de esta ecuación en coordenadas esféricas (distancia desde el punto central), (ángulo de latitud) y (ángulo de longitud) conduce a tres ecuaciones, cada una de las cuales depende solo de una de las coordenadas. Una solución completa es el producto de las soluciones de estas tres ecuaciones. ${\ Displaystyle \ mu = {\ frac {m_ {e} m_ {k}} {m_ {e} + m_ {k}}}}$${\ Displaystyle m_ {e} \ ll m_ {k}}$${\ Displaystyle \ mu \ approx m_ {e}}$${\ Displaystyle \, r}$${\ Displaystyle \ vartheta}$${\ Displaystyle \ varphi}$${\ Displaystyle \ Psi ({\ vec {r}})}$

Orbitales de hidrógeno 3D de las funciones propias con fase codificada por colores${\ Displaystyle \ Psi _ {nlm}}$

Cada solución de la ecuación de Schrödinger para el átomo de hidrógeno se identifica mediante los tres números enteros . Se les llama números cuánticos, más precisamente: números cuánticos espaciales en contraste con el número cuántico de espín agregado más tarde . El número cuántico principal o de energía es cualquier número positivo, el número cuántico de momento angular asume los valores de a para un dado , y el número cuántico magnético recorre los números enteros de a para un dado . La función de solución es entonces ${\ Displaystyle \, \ Psi}$${\ Displaystyle \, n, l, m}$${\ displaystyle m_ {s} {\ mathord {=}} \ pm {\ tfrac {1} {2}}}$${\ Displaystyle \, n}$${\ Displaystyle \, l}$${\ Displaystyle \, n}$${\ Displaystyle \, 0}$${\ Displaystyle \, n-1}$${\ Displaystyle \, m}$${\ Displaystyle \, l}$${\ Displaystyle \, (2l + 1)}$${\ Displaystyle \, - l}$${\ Displaystyle \, + l}$

${\ Displaystyle \ Psi _ {nlm} (r, \ vartheta, \ varphi) = R_ {nl} (r) \; Y_ {lm} (\ vartheta, \ varphi)}$

con

• ${\ displaystyle R_ {nl} (r) = {\ sqrt {{\ left ({\ frac {2Z} {na_ {0}}} \ right)} ^ {3} {\ frac {(nl-1)! } {2n (n + l)!}}}} \; E ^ {- \ rho / 2} \; \ rho ^ {l} \; L_ {nl-1} ^ {2l + 1} (\ rho) }$
• ${\ Displaystyle \ rho = {\ frac {2Zr} {na_ {0}}}}$(allí está el radio de Bohr del átomo de H);${\ displaystyle a_ {0} = {\ tfrac {4 \ pi \ varepsilon _ {0} \ hbar ^ {2}} {m _ {\ mathrm {e}} e ^ {2}}}}$
• ${\ Displaystyle L_ {nl-1} ^ {2l + 1} (\ rho)}$son los polinomios de Laguerre asociados ;
• ${\ Displaystyle Y_ {lm} (\ vartheta, \ varphi)}$son las funciones de la superficie esférica .

La función radial es la misma para todos los valores del número cuántico magnético . Las funciones dependientes del ángulo son independientes del número cuántico principal . ${\ Displaystyle R_ {nl} (r)}$${\ Displaystyle m}$${\ Displaystyle Y_ {lm} (\ vartheta, \ varphi)}$${\ Displaystyle n}$

Para los orbitales más bajos obtenemos:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ Psi _ {100} & = {\ sqrt {4Z ^ {3} \ over a_ {0} ^ {3}}} \; e ^ {- Zr / a_ {0} } \ cdot {\ sqrt {1 \ over 4 \ pi}} \\\ Psi _ {200} & = {\ sqrt {Z ^ {3} \ over 8a_ {0} ^ {3}}} \ left (- {Zr \ over a_ {0}} + 2 \ right) e ^ {- Zr / 2a_ {0}} \ cdot {\ sqrt {1 \ over 4 \ pi}} \\\ Psi _ {210} & = { \ sqrt {Z ^ {3} \ over 24a_ {0} ^ {3}}} \ left ({Zr \ over a_ {0}} \ right) e ^ {- Zr / 2a_ {0}} \ cdot {\ sqrt {3 \ over 4 \ pi}} \ cos \ vartheta \\\ Psi _ {2,1, \ pm 1} & = \ mp {\ sqrt {Z ^ {3} \ over 24a_ {0} ^ {3 }}} \ left ({Zr \ over a_ {0}} \ right) e ^ {- Zr / 2a_ {0}} \ cdot {\ sqrt {3 \ over 8 \ pi}} \ sin \ vartheta e ^ { \ pm i \ varphi} \\\ end {alineado}}}$

Los valores propios de energía son

${\ Displaystyle H \ Psi _ {nlm} = E_ {n} \ Psi _ {nlm} \,}$

con

${\ Displaystyle E_ {n} = - {\ frac {e ^ {4} m_ {e}} {2 (4 \ pi \ varepsilon _ {0}) ^ {2} \ hbar ^ {2}}} \ cdot {\ frac {Z ^ {2}} {n ^ {2}}} = - {\ frac {1} {2}} m_ {e} (c \ cdot \ alpha) ^ {2} {\ frac {Z ^ {2}} {n ^ {2}}} = - {\ frac {Z ^ {2}} {n ^ {2}}} {\ text {Ry}} = - {\ frac {e ^ {2 }} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ cdot {\ frac {Z ^ {2}} {2a_ {0} \ cdot n ^ {2}}} \,}$

con la velocidad de la luz , la constante de estructura fina y la energía de Rydberg . ${\ Displaystyle c}$ ${\ Displaystyle \ alpha = {\ frac {1} {137}}}$ ${\ textstyle 1 \; {\ text {Ry}} = 13 {,} 6 \; {\ text {eV}}}$

Los valores propios para el número cuántico de momento angular y el número cuántico magnético son a través de

${\ Displaystyle {\ hat {L}} ^ {2} \ Psi _ {nlm} = {\ hbar} ^ {2} l (l + 1) \ Psi _ {nlm} \,}$

y

${\ Displaystyle {\ hat {L}} _ {z} \ Psi _ {nlm} = \ hbar m \ Psi _ {nlm} \,}$

dado.

El número cuántico de momento angular en este caso mide la trayectoria del momento angular del electrón, y el número cuántico magnético su proyección en una dirección definida arbitrariamente, que generalmente se conoce como tal (z representa el eje z).

En este tratamiento más simple del átomo de hidrógeno, los valores de energía solo dependen del número cuántico principal . Todos los estados con la misma (y por tanto también todas sus posibles combinaciones lineales) tienen aquí la misma energía. Por tanto, se dice que están degenerados con respecto a los números cuánticos y${\ Displaystyle \, n}$${\ Displaystyle \ Psi _ {nlm} (r, \ vartheta, \ varphi)}$${\ Displaystyle \, n}$${\ Displaystyle \, l}$${\ Displaystyle \, m.}$

La degeneración con respecto a se aplica en general a todo potencial esférico simétrico, porque entonces la energía de un autoestado no puede depender de la orientación del momento angular con respecto al eje-. Por otro lado, la degeneración es una característica especial del potencial ( ). Explica la polarización eléctrica particularmente grande ( efecto Stark lineal ) del átomo de hidrógeno excitado. En átomos con varios electrones, la degeneración ya se ha roto debido al cambio en la forma potencial debido al blindaje de la carga nuclear dependiente de la distancia por los otros electrones, lo cual es de gran importancia para la estructura de la tabla periódica del elementos. La degeneración siempre se aplica (con una buena aproximación) cuando un electrón está a una gran distancia de todos los demás, es decir, en un estado de Rydberg . Otros efectos (espín, teoría de la relatividad) dan como resultado una ligera cancelación de la degeneración incluso en el átomo de H. ${\ Displaystyle \, m}$${\ Displaystyle z}$${\ Displaystyle \, l}$${\ Displaystyle - {\ tfrac {1} {r}}}$${\ Displaystyle \, l}$${\ Displaystyle \, l}$${\ Displaystyle \, l}$

1. ↑ El estado de energía más bajo (estado fundamental) generalmente se conoce en mecánica cuántica como.${\ Displaystyle E_ {0}}$

Mayor desarrollo

División de los niveles de energía del átomo de hidrógeno.

La ecuación de Schrödinger proporciona una primera aproximación de una excelente descripción del átomo de hidrógeno. Sin embargo, descuida algunos hechos que pueden probarse experimentalmente y pueden derivarse estrictamente formalmente en el marco de un tratamiento relativista . Algunas de estas correcciones se pueden explicar modificando la ecuación no relativista:

Efectos relativistas

La ecuación de Schrödinger es una ecuación no relativista y usa la expresión clásica para energía cinética. Por lo tanto, para una descripción correcta se debe utilizar una ecuación relativista para el desarrollo en el tiempo. En el caso del átomo de hidrógeno, sin embargo, la diferencia de energía no es muy grande, por lo que los efectos pueden tratarse en términos de teoría de perturbación dentro del marco de la ecuación de Schrödinger para obtener valores más precisos para los valores propios de energía. .

Girar

El espín del electrón también es un efecto no clásico en la ecuación relativista de Dirac se puede entender que para fermiones con valor de espín se adapta. ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}}}$

Debido a su giro, el electrón tiene un momento magnético que puede interactuar con otros momentos y campos magnéticos.

La interacción con el momento magnético, que genera el electrón a través de su movimiento alrededor del núcleo atómico, se conoce como acoplamiento espín-órbita . Este y otros efectos provocan una división parcial de los niveles de energía degenerados , la fina estructura del átomo de hidrógeno. Si también se tiene en cuenta la interacción del espín y el momento angular orbital con el espín nuclear , se produce una división aún más fina, la denominada estructura hiperfina .

En presencia de campos magnéticos, se observa el efecto Zeeman anómalo debido al giro del electrón .

Efectos teóricos del campo cuántico

Incluso la descripción de un electrón utilizando la ecuación relativista de Dirac con el llamado acoplamiento mínimo a un campo electromagnético deja muchos problemas físicos y matemáticos sin resolver.

Solo las teorías relativistas de campos cuánticos pudieron explicar todas las propiedades conocidas y medibles del átomo de hidrógeno (y la de todos los demás átomos) y hacerlas computables en principio a partir de las constantes naturales y las propiedades de las partículas elementales . Las QFT son teorías de muchas partículas, en las que todas las fuerzas se explican mediante la interacción de partículas mediante una segunda cuantificación , mediante la cual se describen nuevos efectos como las fluctuaciones del vacío . Estos involucran, por ejemplo, el corrimiento de Lamb (Engl. Lamb shift ) de los niveles de energía, que por primera vez se ha demostrado en el experimento de Lamb-Retherford , así como correcciones al factor giromagnético . La emisión espontánea de fotones de los estados excitados del átomo, incluidas las probabilidades de transición , solo podría explicarse adecuadamente con la ayuda de la electrodinámica cuántica.

La electrodinámica cuántica , una teoría del campo cuántico en la que el efecto del campo electromagnético en última instancia, los fotones "partículas de luz" se reciclan, proporciona actualmente el modelo más preciso de la capa de electrones de un átomo de hidrógeno.

literatura

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• BH Bransden, Charles J. Joachain: Física de átomos y moléculas . Longman, Londres 1982, ISBN 0-582-44401-2 . 
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enlaces web

Wikcionario: Átomo de hidrógeno  - explicaciones de significados, orígenes de palabras, sinónimos, traducciones

• Presentaciones multimedia sobre el átomo de hidrógeno

Evidencia individual

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