Matemáticas en el apogeo del Islam

Una página de al-Khwarizmi libro Hisab al-Jabr wa-l-muqabala

Las matemáticas en la Edad de Oro islámica se basaron en los hallazgos de las matemáticas griegas e indias antiguas , que agregaron en el período entre los siglos VIII y XIII, así como muchas características nuevas y mejoras agregadas. Mientras que, al mismo tiempo, las obras de la antigüedad fueron casi olvidadas en la Europa cristiana de la Alta Edad Media y apenas se logró ningún progreso científico notable allí, los estudiosos del mundo islámico mantuvieron la continuidad de la investigación matemática. Por ello, juegan un papel importante en la historia de las matemáticas . Matemáticos importantes en el apogeo del Islam fueron, por ejemplo, al-Chwarizmi , Thabit ibn Qurra , al-Battani , Abu l-Wafa , Alhazen y Omar Chayyam .

En el campo de la aritmética , los matemáticos islámicos tomaron la notación decimal de las matemáticas indias , la expandieron para incluir fracciones decimales y desarrollaron procedimientos para una aritmética escrita eficiente en esta representación numérica. Al hacerlo, contribuyeron significativamente a la difusión del sistema de valor posicional decimal que se usa en la actualidad . La innovación más importante en las matemáticas de los países islámicos fue el desarrollo del álgebra hasta la transformación y resolución sistemática de ecuaciones , así como el cálculo con términos raíz , potencias y polinomios . También en trigonometría , basada en la función seno adoptada de la India , se ha logrado un gran progreso en la investigación de triángulos planos y esféricos mediante la definición de las otras funciones trigonométricas . Las matemáticas islámicas también hicieron contribuciones a las construcciones de la geometría euclidiana , así como a la teoría de números y la combinatoria .

término

En los países del Islam, especialmente bajo el gobierno de los abasíes desde el siglo VIII al XIII, hubo un auge cultural y científico en la literatura y la filosofía, la arquitectura, la medicina, la astronomía, la geografía y, por último, pero no menos importante, las matemáticas en su apogeo. . No existe una abreviatura estándar para esta sección de la historia de las matemáticas en la literatura. Hasta hace poco, el término "matemáticas árabes" se utilizaba con frecuencia, lo que se justifica por el hecho de que los escritos de esta época estaban escritos casi exclusivamente en árabe . Sin embargo, esto puede ser engañoso porque también se refiere a los árabes como un grupo étnico, mientras que los eruditos de esa época procedían de diferentes partes del mundo islámico. Por lo tanto, los textos de hoy se refieren principalmente al Islam como el trasfondo cultural común y utilizan términos como "Matemáticas en los países del Islam" o "Matemáticas del Islam" y "Matemáticas islámicas" para abreviar. Sin embargo, con términos derivados de esto, como "matemático islámico" o "matemático del Islam", debe tenerse en cuenta que no se hace ninguna declaración sobre la afiliación religiosa de la persona. La mayoría de los eruditos de los países del Islam eran musulmanes , pero no todos. Un ejemplo bien conocido es el matemático as-Samaw'al que consiste en una familia nativa judía y solo después de la publicación de sus principales obras se convirtió a la fe islámica .

Trasfondo histórico y social

Difusión del Islam hasta el año 750:

bajo Mohammed, 612-632

entre los tres primeros califas, 632–655

bajo el califato omeya 661–750

El calendario islámico comienza en el año 622 d. C. con la hijra , la huida del fundador de la religión, Mahoma, desde su ciudad natal, La Meca, a Medina . Cuando murió en 632, la nueva religión monoteísta del Islam ya se había extendido por toda la Península Arábiga . Los sucesores de Mahoma, los califas , establecieron ejércitos poderosos como líderes religiosos y políticos y pudieron expandir rápidamente la esfera de influencia islámica a través de la conquista de Siria, Mesopotamia , Persia y Egipto hasta mediados del siglo VII. Bajo el califato omeya , continuó el avance triunfal de los ejércitos islámicos: por el oeste a través del norte de África ( Magreb ) hasta la Península Ibérica ( al-Andalus ) y por el este hasta Asia Central ( Turkestán ) y la India hasta el Indo ( Sindh ).

El califa abasí al-Ma'mun (extremo izquierdo) y el emperador bizantino Theophilos (extremo derecho), frente a ellos como enviado mediador Johannes Grammatikos ; Detalle del manuscrito iluminado de Madrid del Skylitz

Alrededor del año 750, la expansión del Islam se había estancado esencialmente y comenzó una fase de consolidación en el nuevo imperio. Al-Mansur , el segundo califa abasí , trasladó la capital de Damasco a Bagdad , que fue reconstruida en 762 y que posteriormente se convirtió en un centro de cultura y ciencia. Harun ar-Raschid fundó allí una biblioteca, en la que se reunieron numerosas fuentes científicas de todas las partes del imperio. El hijo de Ar-Raschid, el califa al-Ma'mun (reinado 813-833), mandó construir la " Casa de la Sabiduría " (Bayt al-Hikma) en Bagdad . La principal tarea de esta institución científica, que también era academia, biblioteca y taller de traducción, fue inicialmente la traducción de las fuentes científicas más importantes al idioma árabe . Como idioma del Corán que todos en el imperio islámico tenían que aprender, el árabe desempeñaba un papel central como lengua franca para el comercio, la cultura y la ciencia. Ya en la década de 730, se habían realizado traducciones al árabe de fuentes indias en el este del imperio. Gracias al trabajo en la Casa de la Sabiduría, las obras más importantes de las matemáticas griegas también fueron cuidadosamente traducidas a fines del siglo IX, sobre todo los elementos de Euclides , pero también los tratados matemáticos de Arquímedes , la Konika (“Sobre el Secciones cónicas ”) de Apollonios , la Arithmetica de Diophant y la Sphaerica de Menelaus . Además, el trabajo de traducción en la Casa de la Sabiduría también moldeó creativamente la terminología científica árabe como base para futuros avances científicos.

Avances en las subáreas

aritmética

Adopción y difusión del sistema decimal indio

El desarrollo de los números indoárabes

El elemento esencial de la representación del valor posicional decimal de los números es un símbolo del cero , que indica que el número de paso correspondiente no aparece en este punto : así, el número 207 contiene dos veces 100, nunca 10 y siete veces 1; en contraste con 27, que contiene dos veces 10 y siete veces 1. Esta importante idea del cero se remonta a las matemáticas indias, donde se utilizó al menos desde el siglo VII d.C. y fue descrita por el astrónomo y matemático indio Brahmagupta . Los números indios se extendieron a Siria y Mesopotamia en el siglo VIII y fueron adoptados por las matemáticas islámicas en el siglo IX. Anteriormente, los árabes usaban la escritura numérica Abdschad , en la cual, similar a la escritura numérica griega , las letras del alfabeto representan ciertos valores numéricos. Con la traducción árabe del Siddhānta por el matemático indio Aryabhata en el siglo VIII, el número cero se abrió camino en la literatura en lengua árabe. El cero se llamaba sifr ("vacío", "nada") en árabe ; La palabra alemana "número" y la palabra inglesa "cero" para cero se desarrollaron a partir de esta designación.

La primera descripción conocida en árabe de este nuevo sistema numérico proviene del erudito al-Khwarizmi , uno de los matemáticos más importantes del Islam. Probablemente era de ascendencia khorezmiana , nació alrededor del 780, trabajó en la Casa de la Sabiduría en Bagdad y murió entre 835 y 850. Su obra kitāb al-ḥisāb al-hindī (Libro de cálculo con números indios) o kitab al-jam ' wa 'l-tafriq al-ḥisāb al-hindī (' suma y resta en la aritmética india '), traducida al latín en el siglo XII, introdujo los números indoárabes y el sistema decimal en Europa. La obra solo ha sobrevivido en un único manuscrito latino; el original árabe se ha perdido. La traducción latina comienza con las palabras: " Dixit Algorizmi " ("Al-Chwarizmi dijo"). La palabra " algoritmo " , que se utiliza hoy en día para los procesos de cálculo sistemático, se desarrolló a partir de esto . Contrariamente a su título, la introducción de al-Khwarizmi al sistema numérico indio contenía no solo procedimientos para sumar y restar escritos , sino también para multiplicar , dividir y sacar raíces cuadradas . Uno de los primeros trabajos supervivientes sobre aritmética en el texto árabe original, el libro Fundamentals of Indian Arithmetic de Kuschyar ibn Labban (fl. 971-1029), fue muy influyente en los países islámicos y jugó un papel importante en la difusión final del decimal. sistema.

Adición de 5625 y 839 en una mesa de polvo según Kuschyar ibn Labban

Las técnicas aritméticas escritas introducidas por al-Chwarizmi y Kuschyar ibn Labban diferían significativamente de las que se utilizan en la actualidad. La razón de esto fue que estaban optimizados para calcular en una llamada tabla de polvo , una bandeja plana salpicada de arena fina, que era común en ese momento . En contraste con el cálculo con lápiz y papel, solo se podían escribir relativamente pocos dígitos en una tabla de polvo al mismo tiempo, pero tenía la ventaja de que los dígitos podían borrarse muy rápidamente y ser sobrescritos por otros. Sin embargo, las tablas de polvo como ayuda para el cálculo pronto dejaron de utilizarse en favor de la tinta y el papel. Por ejemplo, Abu l-Hasan al-Uqlidisi escribió en su libro de capítulos sobre aritmética india , escrito alrededor de 953 , que el uso de la tabla de polvo es "no apropiado", porque de lo contrario sólo se ve en " bueno para nada". ”Que“ en las calles se gana la vida con la astrología ”. En consecuencia, al-Uqlidisi declaró en su libro técnicas de cálculo escritas que estaban optimizadas para la carta de presentación en papel.

Invención de las fracciones decimales

En el libro de al-Uqlidisi sobre aritmética india, además de calcular con números naturales en notación decimal , también existe el tratamiento más antiguo conocido de las fracciones decimales . Anteriormente, era costumbre utilizar partes fraccionarias en el sistema sexagesimal . Al-Uqlidisi introdujo las fracciones decimales en relación con las divisiones por 2 y por 10 y mostró la utilidad de esta nueva forma de representación con ejemplos: redujo a la mitad el número 19 cinco veces y obtuvo 0.59375 o aumentó el número 135 cinco veces por una décima, lo que es una fracción decimal 217,41885 resultados. Al-Uqlidisi aún no usaba la ortografía de hoy con un separador decimal , sino que marcó la posición de las unidades colocando una pequeña línea vertical encima.

El uso de fracciones decimales en al-Uqlidisi todavía aparecía en gran parte como un dispositivo técnico y una ayuda aritmética; no está claro si ya reconoció plenamente su significado matemático. Sin embargo, la comprensión matemática completa de las fracciones decimales para la representación aproximada de números reales solo se puede encontrar más de 200 años después en un tratado sobre aritmética de as-Samaw'al (alrededor de 1130 a alrededor de 1180) del año 1172. Como -Samaw'al la llevó allí cuidadosamente como un método para aproximar números con (en principio) precisión arbitraria, y lo demostró con ejemplos al determinar, entre otras cosas, expansiones de fracciones decimales desde y hacia . As-Samaw'al también utilizó métodos de iteración numérica para calcular raíces superiores, en los que queda clara la idea de la “convergencia” de las aproximaciones calculadas al valor buscado. El último gran matemático de los países del Islam durante la Edad Media europea, Jamschid Masʿud al-Kaschi (alrededor de 1389 a 1429), escribió la obra Clave de la aritmética en 1427 , en la que, basándose en el teorema del binomio , encontró un método general. para calcular las raíces n-ésimas descritas.${\ displaystyle {\ tfrac {210} {13}}}$${\ Displaystyle {\ sqrt {10}}}$

álgebra

El álgebra como rama matemática independiente ha sido desarrollada por matemáticos en la Edad de Oro islámica. Fuentes importantes de las que extrajeron y combinaron para formar una nueva ciencia fueron las matemáticas griegas, especialmente los elementos de Euclides y la aritmética de Diofante , y las matemáticas indias, especialmente la obra Brahmasphutasiddhanta de Brahmagupta del siglo VII. Las matemáticas islámicas combinaron el enfoque más geométrico y siempre cuidadosamente probado de los griegos con la resolución prácticamente aritmética de ecuaciones transmitidas por la India, como ya se usaba en las matemáticas babilónicas .

Los hermanos Banū-Mūsā , que trabajaron al mismo tiempo que al-Khwarizmi en Bagdad en el siglo IX, fueron de los primeros matemáticos de habla árabe en desarrollar las matemáticas antiguas de forma independiente y creativa . Describieron una solución similar al “ caracol de Pascal ” para dividir el ángulo en tres y calcular la raíz cúbica a partir de un número no cúbico en fracciones sexagesimales . Hicieron un cálculo circular usando el método de Arquímedes y también estaban familiarizados con el teorema de Heron .

Los matemáticos islámicos aún no usaban símbolos matemáticos para especificar, transformar y resolver ecuaciones, sino que los expresaban exclusivamente en palabras, posiblemente complementadas con figuras geométricas. Aunque usaron el número cero , como se muestra arriba , no usaron el número cero, ni adoptaron el concepto de números negativos, como se usaba anteriormente en India y China.

Una aplicación importante del álgebra fue la división de la propiedad en la ley de herencia islámica, que con sus disposiciones legales relativamente complejas conduce naturalmente a ecuaciones matemáticas. En consecuencia, los tratados de los matemáticos islámicos a menudo también contenían ejercicios de aplicación sobre este tema.

Transformaciones algebraicas y soluciones de ecuaciones en al-Chwarizmi

Además de su introducción a la aritmética, Al-Chwarizmi escribió otro trabajo matemático que se considera el punto de partida del álgebra como ciencia independiente. Lleva el título al-Kitab al-muchtasar fi hisab al-dschabr wa-l-muqabala (por ejemplo: “El libro conciso sobre los métodos computacionales complementando y equilibrando”). La obra fue traducida al latín por Robert von Chester en 1145 bajo el título Liber algebrae et almucabala . La primera parte muestra la transformación y resolución sistemática de ecuaciones cuadráticas ; en la segunda parte hay numerosos ejercicios de aplicación que ilustran el proceso. Al-Chwarizmi explicó primero cómo cada ecuación cuadrática resoluble se llevó a cabo utilizando dos técnicas de transformación, que llamó al-dschabr ("suplemento"; de aquí la palabra "álgebra") y al-muqabala ("equilibrio"), a una Se pueden traer de seis formas estándar. En notación moderna con lo desconocido y con coeficientes y , que denotan números positivos dados, estos son:${\ Displaystyle x}$ ${\ Displaystyle p}$${\ Displaystyle q}$

1) ,${\ Displaystyle x ^ {2} = px}$	2) ,${\ Displaystyle x ^ {2} = p}$	3) , ${\ Displaystyle x = p}$
4) ,${\ Displaystyle x ^ {2} + px = q}$	5) ,${\ Displaystyle x ^ {2} + q = px}$	6) . ${\ Displaystyle px + q = x ^ {2}}$

Dos casos de ecuaciones cuadráticas en al-Khwarizmi (copia árabe del siglo XIV)

En los primeros tres casos, la solución se puede determinar directamente, para los casos 4, 5 y 6 al-Chwarizmi dio reglas para la solución y las demostró geométricamente completando el cuadrado . Aunque siempre usó ejemplos numéricos específicos, enfatizó la validez general de las consideraciones.

El procedimiento se explica en el ejemplo del caso 5, en el que al-Chwarizmi estableció que es el único de los seis casos en los que no pueden existir exactamente una o exactamente dos soluciones (positivas). Todos los demás casos, sin embargo, siempre tienen una solución claramente definida. Se da la ecuación . Esto se transforma primero por al-Jabr , lo que significa que los términos que se restan (aquí en este caso ) se suman en ambos lados de la ecuación, de modo que en última instancia solo ocurren adiciones en la ecuación; en el ejemplo resulta . El segundo paso de transformación, al-muqabala, consiste en combinar términos del mismo tipo a la izquierda y a la derecha de la ecuación en un lado; en el ejemplo se obtiene . La división de la ecuación por 2 finalmente da la forma normal . Con la regla dada por al-Chwarizmi para el caso 5, ahora se pueden determinar las dos soluciones:${\ Displaystyle 2x ^ {2} + 100-20x = 58}$${\ Displaystyle 20x}$${\ Displaystyle 2x ^ {2} + 100 = 58 + 20x}$${\ Displaystyle 2x ^ {2} + 42 = 20x}$${\ displaystyle x ^ {2} + 21 = 10x}$

${\ Displaystyle {\ frac {10} {2}} - {\ sqrt {\ left ({\ frac {10} {2}} \ right) ^ {2} -21}} = 3 \ quad}$y .${\ Displaystyle \ quad {\ frac {10} {2}} + {\ sqrt {\ left ({\ frac {10} {2}} \ right) ^ {2} -21}} = 7}$

Mayor desarrollo del álgebra en el Islam

Las ideas que al-Khwarizmi presentó en su libro sobre al-Jabr y al-muqabala fueron retomadas, comentadas y profundizadas por muchos matemáticos islámicos. Thabit ibn Qurra (826-901) escribió un tratado en el que generalmente probó las fórmulas de solución mostradas por al-Chwarizmi usando ejemplos numéricos especiales. Para ello utilizó dos teoremas de los elementos de Euclides y demostró que las soluciones geométricas así probadas corresponden a las fórmulas obtenidas por transformaciones algebraicas.

Probablemente de Egipto, el erudito Abu Kamil (alrededor de 850 a alrededor de 930) publicó un libro muy influyente llamado Álgebra . La colección de ejercicios que contiene, por ejemplo, fue retomada intensamente por el matemático italiano Leonardo von Pisa hacia finales del siglo XII . El álgebra de Abu Kamil , que pretende ser un comentario sobre el trabajo de al-Khwarizmi, contiene numerosos avances en las transformaciones algebraicas. Entre otras cosas, mostró reglas de cálculo para multiplicar expresiones que contienen lo desconocido, o reglas de cálculo para raíces, como . Al hacerlo, llevó a cabo una cuidadosa evidencia de transformaciones elementales como . La segunda parte del Álgebra de Abu Kamil contiene numerosos ejercicios que ilustran la primera parte teórica. Uno de los problemas es interessantesten ruidosa John Lennart Berggren su "virtuoso" se trata de las reglas del álgebra: Abu Kamil mirado en el sistema no lineal de ecuaciones , , con tres incógnitas y dio detalle los pasos de cálculo, que, finalmente, en la solución de plomo .${\ Displaystyle {\ sqrt {a}} \ cdot {\ sqrt {b}} = {\ sqrt {a \ cdot b}}}$${\ displaystyle ax \ cdot bx = de \ cdot x ^ {2}}$${\ Displaystyle 10 = x + y + z}$${\ Displaystyle z ^ {2} = x ^ {2} + y ^ {2}}$${\ Displaystyle xz = y ^ {2}}$${\ Displaystyle x = 5 - {\ sqrt {{\ sqrt {3125}} - 50}}}$

En los años siguientes hubo una mayor aritmetización del álgebra, es decir, sus orígenes geométricos se desvanecieron en un segundo plano y se desarrollaron aún más las leyes puramente algebraicas del cálculo. El matemático persa al-Karaji (953-1029) consideró los poderes arbitrarios de las incógnitas , así como las sumas y diferencias formadas a partir de ellas. Por lo tanto, dio un paso importante en la dirección de la aritmética para polinomios , pero fracasó debido a una formulación generalmente válida de la división polinomial porque, como todos los matemáticos islámicos antes que él, carecía del concepto de números negativos. No fue hasta as-Samaw'al , unos 70 años después, que se encontró la ley de potencia para exponentes positivos y negativos arbitrarios y , entre otras cosas . As-Samaw'al pudo proporcionar un procedimiento tabular eficiente con el que se pueden realizar las divisiones polinómicas; por ejemplo calculó con él${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle x ^ {m} \ cdot x ^ {n} = x ^ {m + n}}$${\ Displaystyle m}$${\ Displaystyle n}$

${\ Displaystyle {\ frac {20x ^ {6} + 2x ^ {5} + 58x ^ {4} + 75x ^ {3} + 125x ^ {2} + 96x + 94 + 140x ^ {- 1} + 50x ^ {-2} + 90x ^ {- 3} + 20x ^ {- 4}} {2x ^ {3} + 5x + 5 + 10x ^ {- 1}}}}$.

Una página del artículo de Omar Chayyam sobre cómo resolver ecuaciones cúbicas usando cónicas

En el campo de la resolución de ecuaciones algebraicas, el científico y poeta persa Omar Chayyam (1048-1131) tomó la clasificación de ecuaciones cuadráticas de al-Chwarizmi y las expandió a ecuaciones cúbicas , es decir , ecuaciones que contienen la tercera potencia de la incógnita. Demostró que estos pueden reducirse a una de las 25 formas estándar, 11 de las cuales se remontan a ecuaciones cuadráticas. Para los otros 14 tipos, Omar Chayyam especificó métodos con los cuales las soluciones pueden construirse geométricamente como intersecciones de secciones cónicas . En su tratado, también expresó el “deseo” de poder calcular la solución algebraicamente usando expresiones de raíz, como con las ecuaciones cuadráticas también con las ecuaciones cúbicas. Sin embargo, según Omar Chayyam, ni él ni ningún otro algebraico tuvieron éxito. El deseo de Chayyam no se cumplió hasta 1545 con la publicación de fórmulas para resolver ecuaciones de tercer grado por parte del erudito italiano Gerolamo Cardano .

trigonometría

Funciones trigonométricas

Los orígenes y las primeras aplicaciones de la trigonometría , la "medida triangular", en la antigüedad se encuentran en la astronomía . Los textos matemáticos que trataban de esta área eran, por lo tanto, en su mayoría secciones individuales en trabajos astronómicos. El Almagesto de Ptolemaio (alrededor del año 100 d. C. hasta después del 160) contiene la compilación más completa de todos los conocimientos astronómicos de la antigua Grecia recopilados hasta ese momento . La única "función de ángulo" utilizada por los astrónomos griegos era la longitud de la cuerda asociada con un ángulo (o arco de un círculo ) . En consecuencia, se proporciona una tabla de tendones detallada en el Almagest, es decir , una tabla que contiene ángulos en grados en una columna y las longitudes de cuerda asociadas en la otra columna.${\ Displaystyle \ alpha}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {acorde} (\ alpha)}$

Sin embargo, los astrónomos y matemáticos islámicos no adoptaron la geometría cordal de los griegos, sino un enfoque diferente que se utilizó en la astronomía india : la geometría sinusoidal . En un triángulo rectángulo es la razón entre la longitud del ángulo opuesto al cateto y la longitud de la hipotenusa . Aunque existe una relación relativamente simple entre el seno y la longitud del arco , la relación directa del seno con los triángulos rectángulos ofrece grandes ventajas teóricas y prácticas. Las tablas de seno se habían utilizado en la India desde el siglo IV o V.${\ Displaystyle \ sin (\ alpha)}$${\ Displaystyle \ alpha}$${\ Displaystyle \ sin (\ alpha) = {\ tfrac {1} {2}} \ operatorname {acorde} (2 \ alpha)}$

La extensión de la función seno a las seis funciones trigonométricas que se usan hoy en día seno, coseno, tangente , cotangente, secante y cosecante es una innovación en las matemáticas islámicas. La tangente y la cotangente se introdujeron por primera vez en relación con las longitudes de las sombras: si el ángulo de elevación del sol está sobre el horizonte, entonces es la longitud de la sombra que proyecta una barra horizontal de longitud 1 sobre una pared vertical; un palo ( gnomon ) colocado verticalmente en el suelo proyecta una sombra de longitud . Las secanas y cosecanas corresponden entonces a las hipotenusas pertenecientes a la sombra, es decir, son iguales a la distancia entre la punta del gnomon y la de la sombra. Debido a las relaciones simples , y es suficiente para la práctica de establecer mesas de seno, tangente y secante.${\ Displaystyle \ theta}$${\ Displaystyle \ tan (\ theta)}$${\ Displaystyle \ cot (\ theta)}$${\ Displaystyle \ cos (\ theta) = \ sin (90 ^ {\ circ} - \ theta)}$${\ Displaystyle \ cot (\ theta) = \ tan (90 ^ {\ circ} - \ theta)}$${\ Displaystyle \ csc (\ theta) = \ sec (90 ^ {\ circ} - \ theta)}$

La eficiencia de estos nuevos conceptos se demostró por primera vez con Abu l-Wafa , quien desarrolló el teorema de la adición del seno en el siglo X

${\ Displaystyle \ sin (\ alpha \ pm \ beta) = \ sin (\ alpha) \ cdot \ cos (\ beta) \ pm \ cos (\ alpha) \ cdot \ sin (\ beta)}$

formulado y probado en su forma moderna. Esta relación representó una simplificación en comparación con la declaración análoga para las longitudes de cuerda conocidas hasta ahora. Un teorema de trigonometría extremadamente importante, el teorema del seno para triángulos planos, fue probado por primera vez por el erudito persa Nasir ad-Din at-Tusi en el siglo XIII. . Por primera vez, fue posible calcular cualquier triángulo a partir de tres detalles sobre sus ángulos o lados.

Trigonometría esférica

Tres puntos A, B, C en una esfera forman un triángulo esférico con lados a, b, cy ángulos α, β y γ.

Como en la antigua Grecia y la India, la trigonometría esférica estaba estrechamente relacionada con cuestiones de astronomía en las matemáticas islámicas: los objetos astronómicos pueden entenderse como puntos en la esfera celeste . La conexión más corta de dos puntos en esta esfera es un arco de un gran círculo , tres puntos junto con los arcos de un gran círculo que se conectan forman un triángulo esférico . La única forma matemática general de calcular las longitudes de los lados de los triángulos y cuadrados esféricos que conocían los griegos se basaba en una aplicación del teorema de Menelao . Lleva el nombre de Menelao de Alejandría , que vivió unas décadas antes que Ptolomeo y, hasta donde se sabe, fue el primer estudioso en estudiar triángulos esféricos. En el caso de problemas en los que este teorema era imposible o difícil de aplicar, se utilizaron métodos prácticos de medición y aproximación en astronomía, como modelos esféricos o astrolabios , cuyo funcionamiento se basa en el hecho de que la esfera celeste está mapeada en un plano a través de la proyección estereográfica .

Un avance importante en las matemáticas islámicas, que simplificó significativamente los cálculos en comparación con el teorema de Menelao, fue la ley del seno para los triángulos esféricos . Fue formulado y probado por Abu al-Wafa y, presumiblemente de forma independiente, por al-Biruni y uno de sus maestros. Esta fue la primera vez que se dispuso de la posibilidad de calcular directamente ángulos (y no solo lados) de triángulos esféricos. El teorema: En un triángulo esférico con ángulos , , y las longitudes , , los lados opuestos respectivos de los siguientes casos: ${\ Displaystyle \ alpha}$${\ Displaystyle \ beta}$${\ Displaystyle \ gamma}$${\ Displaystyle a}$${\ Displaystyle b}$${\ Displaystyle c}$

${\ Displaystyle {\ frac {\ sin a} {\ sin \ alpha}} = {\ frac {\ sin b} {\ sin \ beta}} = {\ frac {\ sin c} {\ sin \ gamma}} }$.

En particular, un triángulo esférico se puede calcular a partir de tres cantidades dadas si se dan un lado y un ángulo opuesto.

Triángulo esférico para determinar la dirección de la oración.

La trigonometría esférica no solo es de gran importancia en astronomía, sino también en geografía , cuando se tiene en cuenta la forma esférica de la tierra en las mediciones y cálculos . Al-Biruni tiene una aplicación importante para la religión islámica: la determinación de la Qibla , la dirección de la oración a La Meca . Al-Biruni abordó este problema en un artículo sobre geografía matemática titulado Determinación de las coordenadas de las ciudades . En él asumió que se dan la longitud y latitud de una ciudad y la longitud y latitud de La Meca . En el triángulo esférico con el Polo Norte , las dos partes y y sus ángulos intermedios se conocen en. Dado que se desconoce el lado opuesto al ángulo dado, la ley del seno no se puede aplicar directamente. Este problema se resolvería hoy, por ejemplo, con el teorema del coseno , que aún no estaba disponible para al-Biruni. En cambio, usó triángulos auxiliares y una aplicación múltiple de la ley de los senos para calcular el ángulo en el punto , es decir, la qibla .${\ Displaystyle \ mathrm {B}}$${\ Displaystyle \ mathrm {A}}$${\ Displaystyle \ mathrm {BAP}}$ ${\ Displaystyle \ mathrm {P}}$${\ Displaystyle \ mathrm {PA}}$${\ Displaystyle \ mathrm {PB}}$${\ Displaystyle \ mathrm {P}}$${\ Displaystyle \ mathrm {B}}$

Geometría euclidiana

Los elementos en los que el matemático griego Euclides alrededor del 300 a. C. B.C. había resumido sistemáticamente la geometría de su tiempo, estaban disponibles en traducción árabe a finales del siglo VIII y tenían una gran influencia en los matemáticos islámicos. Pero también el tratado Sobre la esfera y el cilindro de Arquímedes y la obra Konika de Apolonio sobre las secciones cónicas fueron pilares en los que se basó la geometría en los países islámicos. Un tema de investigación popular fue la construcción de polígonos regulares con brújulas y reglas . Para los triángulos, cuadrados, pentágonos y quince ángulos regulares y los polígonos regulares que resultan de esto al doblar los lados, la construcción solo se conocía con brújulas y reglas; por otro lado, los heptágonos y hexágonos regulares solo se pueden construir utilizando herramientas adicionales. Abu l-Wafa afirma en su obra Sobre aquellas partes de la geometría que los artesanos necesitan, entre otras cosas, diferentes construcciones de estos dos estuches con la ayuda de secciones cónicas o mediante la denominada inserción (neusis) .

Otro matemático importante que se ocupó sistemáticamente de las construcciones geométricas fue Abu Sahl al-Quhi (alrededor de 940 a alrededor de 1000). En particular, escribió un tratado sobre el "compás perfecto", un instrumento con el que se pueden dibujar secciones cónicas. Además de las consideraciones teóricas para la construcción de figuras geométricas, las secciones cónicas también fueron de gran importancia para aplicaciones prácticas como relojes de sol o espejos ardientes. Ibrahim ibn Sinan (908-946), nieto de Thabit ibn Qurra, indicó en su obra Sobre el dibujo de las tres secciones cónicas varios métodos para la construcción de los tres tipos de sección cónica: elipse, parábola e hipérbola. De interés teórico y práctico en las matemáticas islámicas fueron las construcciones geométricas que resultan de la restricción de las herramientas euclidianas clásicas. Por ejemplo, Abu l-Wafa escribió una obra que trataba de construcciones con una regla y una brújula con apertura fija, también conocidas como "brújulas oxidadas". Mostró, por ejemplo, cómo se pueden usar estas herramientas para dividir un segmento en cualquier número de secciones del mismo tamaño o cómo construir cuadrados y pentágonos regulares.

Axioma de paralelos de Euclides: Si la suma α + β de los ángulos interiores es menor que 180 °, entonces las rectas hyk se intersecan en un punto S, que se encuentra en el mismo lado de g que los dos ángulos.

Un problema puramente teórico que varios matemáticos islámicos abordaron intensamente fue la cuestión de qué papel juega el postulado de los paralelos en la estructura axiomática de la geometría euclidiana. En sus elementos, Euclides usó la estructura "moderna" de una teoría matemática probando teoremas sobre la base de definiciones y axiomas , es decir, declaraciones que se suponen verdaderas sin prueba. El axioma de los paralelos jugó un papel especial en esto, y debido a su relativa complejidad, no se consideró obvio desde el principio. En consecuencia, ya hubo numerosos intentos en la antigüedad de probar esta afirmación con la ayuda de los otros axiomas. Por ejemplo, Alhazen (alrededor de 965 hasta después de 1040) intentó abordar este problema reformulando el concepto de líneas rectas paralelas. Omar Chayyam expresó más tarde su desaprobación porque no consideraba obvio el uso de Alhazen de una "línea recta en movimiento", y él mismo formuló un nuevo postulado que sustituyó por el euclidiano. En el siglo XIII, Nasir ad-Din at-Tusi retomó los intentos de evidencia de sus predecesores y les agregó más. Desde el siglo XIX se sabe que el axioma de los paralelos es independiente de los demás axiomas, es decir, que no se puede probar. Por lo tanto, todos los intentos de esto que se habían hecho desde la antigüedad eran defectuosos o contenían un razonamiento circular.

Combinatoria y teoría de números

Los antiguos resultados indios en combinatoria fueron adoptados por los matemáticos islámicos. También ha habido desarrollos individuales en esta área. Las afirmaciones sobre números o sobre números naturales en general a menudo pueden probarse mediante el principio de inducción completa . En las obras de los matemáticos islámicos hay algunas consideraciones que contienen todos los componentes importantes de este método de prueba. Así es como al-Karaji mostró la fórmula en relación con las sumas de poder.

${\ Displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} i ^ {3} = \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} i \ right) ^ {2}}$.

Aunque llevó a cabo el paso de inducción en el ejemplo concreto , su enfoque fue independiente de su elección . En al-Karaji y aún más claramente en as-Samaw'al, hay consideraciones que son pasos esenciales para una demostración del teorema del binomio.${\ Displaystyle n = 10}$${\ Displaystyle n}$

${\ Displaystyle (x + y) ^ {n} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {\ binom {n} {k}} x ^ {nk} y ^ {k}}$

Triángulo de Pascal para determinar los coeficientes binomiales

contenido por inducción completa, incluso si las posibilidades matemáticas de expresión en ese momento no eran suficientes para formular una declaración tan general. Para el cálculo de los coeficientes binomiales, al-Karadschi y as-Samaw'al lo usaron mucho antes que Blaise Pascal , el triángulo de Pascal .${\ Displaystyle {\ tbinom {n} {k}}}$

El matemático Ibn Munim (fallecido en 1228) de al-Andalus hizo importantes contribuciones a la combinatoria. En su libro Fiqh al-hisab (" Leyes del cálculo ") partió de la tarea de determinar el número de todas las palabras posibles en el idioma árabe con un máximo de 10 letras. Abordó este problema bastante exigente, entre otras cosas, en lo que respecta a la formación de palabras, las reglas de cómo las consonantes y las vocales deben seguirse deben observarse, a través de varios problemas individuales. Entonces, primero determinó la cantidad de borlas de diferentes colores que surgen cuando eliges diferentes colores de los colores posibles . Usando las relaciones entre los coeficientes binomiales (ver también combinación (combinatoria) ), finalmente logró determinar de forma recursiva el número de palabras posibles de longitud fija a partir del número de palabras más cortas.${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle k}$

Además de los cuadrados mágicos y los números calculados , la teoría de los números islámicos también se ocupa de los números perfectos y su generalización, los números amigos . Dos números se llaman amigos si cada uno es igual a la suma de los divisores reales del otro. Solo se conoce un ejemplo, el par 220 y 284, desde la antigüedad, pero no hay una declaración matemática general sobre los números amigos. En el siglo IX, Thabit ibn Qurra pudo especificar y probar una ley de formación (ver teorema de Thabit ibn Qurra ). Con su ayuda, al-Farisi encontró otro par a finales del siglo XIII, a saber, 17.296 y 18.416.

Declive y secuelas

En los siglos IX y X, las ciencias naturales y la filosofía en el área cultural islámica habían alcanzado la cima de su desarrollo. En este momento, allí se establecieron universidades independientes, las madrasas , que inicialmente impartieron conocimientos científicos en profundidad a sus estudiantes, además de conocimientos religiosos. En la Europa cristiana, por el contrario, muchas obras se habían perdido u olvidado desde la antigüedad tardía . La educación en matemáticas y ciencias se encontraba en un punto bajo a principios de la Edad Media europea .

Desde el siglo X, el escenario de cambios relevantes en el erudito jurídico islámico desde la filosofía helenística evolucionó, influyó neoplatónicamente en la filosofía islámica y se derivó de estos estándares éticos. La investigación empírica como fuente de conocimiento y una forma de encontrar normas éticas y religiosas se percibió como una oposición a la ley islámica o los estudios religiosos y solo se consideró como un empleo privado de académicos individuales. La mayoría de los creyentes deben guiarse por los principios éticos de la ley Sharia . La conclusión de este desarrollo es el trabajo del eminente erudito legal y místico al-Ghazālī (1058-1111), quien rechazó la filosofía de Ibn Sina y otros eruditos musulmanes helenísticos como teísta e incompatible con la teología islámica. En consecuencia, las madrasas cambiaron gradualmente su enfoque hacia la formación jurídica y teológica, mientras que la investigación científica y, como resultado, una ciencia matemática que iba más allá de las matemáticas aplicadas elementales, perdió su rango anterior. Además, acontecimientos políticos como la Reconquista en el Occidente islámico, la inmigración de los selyúcidas en el este y la tormenta mongol , a la que también sucumbió Bagdad en 1258 , contribuyeron al final del apogeo de la ciencia en lengua árabe en el Islam. área cultural, y por lo tanto indirectamente al declive de la ciencia científica operaron las matemáticas. Con la excepción de los dos importantes eruditos persas Nasir ad-Din at-Tusi (1201-1274) y Jamschid Masʿud al-Kaschi (1380-1429), la cultura islámica apenas produjo matemáticos influyentes en el período siguiente.

Estatua de al-Khwarizmis, Universidad Amirkabir ( Teherán )

En el momento del declive de las ciencias exactas en los países del Islam, la investigación matemática ya había despegado nuevamente en la Europa alta y medieval tardía . En el curso de la reconquista de España y Sicilia, las bibliotecas de ciudades anteriormente islámicas se volvieron de libre acceso para los estudiosos de Europa occidental; los textos antiguos conservados allí en traducción árabe, así como las obras de eruditos de habla árabe, fueron traducidos al latín . Especialmente en Toledo , que fue conquistado en 1085, hubo una animada actividad de traducción de escrituras árabes . De esta forma, Europa Occidental accedió por primera vez a las obras clásicas de la matemática antigua a través de la lengua árabe, sobre todo a los Elementos de Euclides , que durante mucho tiempo siguió siendo la obra matemática más importante de todas. Pero también los escritos sobre el sistema decimal y el álgebra, que desde el principio se consideraron logros de la matemática islámica, han sido traducidos repetidamente y comentados una y otra vez. La aritmética y el álgebra de al-Chwarizmis, pero también el trabajo de Abu Kamil, fueron retomados por Leonardo von Pisa y continuaron en su obra principal Liber abbaci . Las consideraciones avanzadas de As-Samaw'al sobre álgebra o la investigación matemática de Omar Chayyam, sin embargo, fueron desconocidas durante el Renacimiento y tuvieron que ser reelaboradas. No está claro si los avances en combinatoria, como el triángulo de coeficientes binomiales de Pascal, se adoptaron de las matemáticas islámicas o si se desarrollaron independientemente de ella. En el campo de la geometría, por otro lado, existe una traducción latina del siglo XII para una obra islámica sobre trigonometría esférica, que contiene la ley del seno en particular.

Historia de la investigación

Si bien los escritos de los matemáticos islámicos fueron muy apreciados en la Alta y Baja Edad Media europea, las actitudes hacia ellos cambiaron en el transcurso del Renacimiento. La investigación matemática se concentraba ahora principalmente en la traducción y el comentario de las escrituras griegas antiguas, que gradualmente volvían a estar disponibles en latín o su idioma original; los avances en las matemáticas islámicas, por otro lado, fueron descuidados y parcialmente olvidados. En los siglos que siguieron, esto llevó a la mayoría de matemáticos y matemáticos a adoptar una visión eurocéntrica que construyó una línea directa de desarrollo desde las matemáticas griegas hasta las matemáticas occidentales modernas.

Los logros de los matemáticos islámicos solo fueron redescubiertos por los matemáticos occidentales en el siglo XIX: en su exhaustiva Histoire des mathématiques (1758) , Jean-Étienne Montucla escribió que los matemáticos de habla árabe solo se ocupaban de ecuaciones de segundo grado, como señaló Franz Wöpcke en 1851 en su disertación sobre el álgebra de Omar Chayyam que había tratado sistemáticamente con ecuaciones de tercer grado. Publicó traducciones de manuscritos matemáticos previamente desconocidos, como el álgebra de al-Karaji. Junto con Jean Jacques y Louis Pierre-Eugène Sédillot , así como Joseph Toussaint Reinaud , se le considera el fundador de la investigación de la historia de la ciencia sobre las matemáticas islámicas. En numerosas obras, Eilhard Wiedemann abordó la historia de las ciencias árabes, en particular la astronomía y las matemáticas en las que se basa. En su Introducción a la historia de la ciencia (1927) , George Sarton finalmente superó la visión eurocéntrica y dio forma a la comprensión moderna del importante papel que desempeña la ciencia en lengua árabe para la preservación y el desarrollo posterior independiente del conocimiento antiguo, así como para la transferencia. del conocimiento a Europa. Matemáticos contemporáneos como Roshdi Rashed , John Lennart Berggren o Jan Hogendijk se ocupan intensamente de las matemáticas del apogeo islámico, por lo que hoy se dispone de una imagen más clara del progreso científico de esta época.

literatura

• J. Lennart Berggren : Matemáticas en el Islam medieval . Springer, Heidelberg y col. 2011, ISBN 978-3-540-76687-2 . 
• J. Lennart Berggren: Episodios de las matemáticas del Islam medieval . 2ª Edición. Springer, Nueva York 2016, ISBN 978-1-4939-3778-3 . 
• Franka Miriam Brückler: Compacto de Historia de las Matemáticas - Las cosas más importantes de la aritmética, geometría, álgebra, teoría de números y lógica . Springer, 2017, ISBN 978-3-662-55351-0 . 
• Helmuth Gericke : Matemáticas en la Antigüedad y Oriente . Springer, Berlín / Heidelberg / Nueva York / Tokio 1984, ISBN 3-540-11647-8 , Sección 3.3 Matemáticas en los países del Islam . 
• Dietmar Herrmann: Matemáticas en la Edad Media - La historia de las matemáticas en Occidente con sus fuentes en China, India e Islam . Springer, Berlín / Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-50289-1 , cap. 4 Matemáticas del Islam hasta 1400 . 
• Luke Hodgkin: A History of Mathematics - From Mesopotamia to Modernity . Oxford University Press, Nueva York 2005, ISBN 0-19-852937-6 , 5. Islam, negligencia y descubrimiento. 
• Victor J. Katz : A History of Mathematics - An Introduction . 3ª Edición. Addison-Wesley / Pearson, Boston y col. 2009, ISBN 978-0-321-38700-4 , Capítulo 9 Las matemáticas del Islam . 
• Fuat Sezgin : Historia de la literatura árabe, Volumen V: Matemáticas. Hasta aproximadamente 430 H . Brill, Leiden 1974, ISBN 90-04-04153-2 . 
• Fuat Sezgin: Ciencia y Tecnología en el Islam I . Instituto de Historia de las Ciencias Árabe-Islámicas, Frankfurt am Main 2003, ISBN 3-8298-0067-3 ( ibttm.org [PDF; consultado el 27 de mayo de 2018]). 
• Hans Wußing : 6000 años de matemáticas: un viaje histórico-cultural a través del tiempo . 1. Desde el principio hasta Leibniz y Newton . Springer, Berlín / Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-77189-0 , cap. 5 Matemáticas en las tierras del Islam . 

enlaces web

• Índice de matemáticas islámicas. En: Archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas . University of St Andrews, febrero de 2016, consultado el 28 de marzo de 2018 . 
• Jan Hogendijk : Bibliografía de las matemáticas en la civilización islámica medieval. 13 de enero de 1999, consultado el 6 de mayo de 2018 . 

Evidencia individual

Este artículo se agregó a la lista de excelentes artículos el 25 de mayo de 2018 en esta versión .