Sistema sexagesimal

El sistema sexagesimal (también sistema hexagesimal o sistema de los sesenta ) es un sistema de valor posicional basado en la base 60 ( latín sexagesimus 'el sexagésimo' ).

Todavía se usa hoy para indicar ángulos y longitudes y latitudes geográficas . Un grado tiene 60 minutos de arco y un minuto tiene 60 segundos . También ha sobrevivido en el campo del cronometraje . Una hora tiene 60 minutos y un minuto tiene 60 segundos . A finales de la Edad Media, algunos matemáticos subdividieron aún más los segundos en terciarias para sus cálculos . Sin embargo, esto no ha tenido éxito.

origen

La primera evidencia de un sistema de cálculo sexagesimal escrito, que todavía era un sistema de adición , se remonta al período sumerio alrededor del 3300 a. C. BC de vuelta. En el curso posterior de las matemáticas babilónicas de aprox. Se utilizó un sistema de lugar sexagesimal. Las principales fuentes sobre matemáticas datan de 1900 a. C. A. C. al 1600 a. C. BC, pero los textos de tabla más antiguos son del período Nuevo Sumerio. El período post-alejandrino muestra crecientes influencias griegas bajo los seléucidas , que entraron en sinergia con el conocimiento babilónico para luego exportar completamente las experiencias de los sumerios, acadios, asirios y babilonios a Grecia. Los astrónomos árabes utilizaron la ortografía del famoso astrónomo griego Ptolomeo en sus mapas y tablas estelares , que se basaba en fracciones sexagesimales. Los primeros matemáticos europeos como Fibonacci también usaban tales fracciones cuando no podían operar con números enteros.

Muchos historiadores ven un motivo para la introducción de un sistema sexagesimal en astronomía , ya que los años babilónicos comprendían doce meses de 30 días, pero también hubo un decimotercer mes bisiesto adicional aproximadamente cada tres años . Se puede encontrar más información en el recuento temprano de los meses lunares, que se remonta al 35.000 a. C. Puede ser probado (calendario palo). En la República Checa , el hueso del radio de un lobo joven se encontró alrededor del 30.000 a. C. Fundada en BC, que tiene una serie de 55 muescas en total, las muescas 9, 30 y 31 tienen aproximadamente el doble de longitud desde la parte superior que las otras muescas. Debido a que el período medio de las fases de la luna es de 29,53 días, los marcadores podrían estar relacionados con las fases de la luna .

Otros científicos ven la razón para elegir el número 60 como la base del sistema informático para poder simplemente expresar o calcular la mayor cantidad posible de partes que ocurren en la práctica del conteo y la medición (comercio). Una indicación de esto es que el 60 con 12 divisores pertenece a los números altamente compuestos (No. 9 en la serie A002182 en OEIS ).

Contar con una y dos manos con falanges y dedos

En el sistema decimal habitual (sistema de decenas) se cuenta con los diez dedos (dos por cinco) de ambas manos. En algunas zonas del mundo, sin embargo, hubo un conteo con la ayuda de la falange , que condujo al número doce ( duodecimal ) con una mano , pero condujo al número 60 con dos manos.

Contar con una mano hasta 12

El conteo se realiza con el pulgar como puntero y las falanges de la misma mano que el objeto a contar.

El conteo con una mano comienza tocando la punta, es decir, la falange superior, del dedo meñique de la misma mano para el primer objeto.
Para el segundo objeto, la falange media del dedo meñique se toca con el pulgar; por lo que cuenta con el pulgar a la extremidad y el dedo.
Tres → eslabón inferior del dedo meñique
Cuatro → eslabón superior del dedo anular
Cinco → eslabón medio del dedo anular
Seis → eslabón inferior del dedo anular
Siete → falange superior del dedo medio
Ocho → falange media del dedo medio
Nueve → eslabón inferior del dedo medio
Diez → falange superior del dedo índice
Once → eslabón medio del dedo índice
Doce → eslabón inferior del dedo índice

En otras palabras: cuatro dedos con 3 falanges cada uno es igual a 12.

Contando a dos manos hasta 60

Después de contar la primera docena utilizando el pulgar como puntero con las tres falanges de los cuatro dedos restantes de la misma mano (4 × 3 = 12), la capacidad de contar de una mano se agota inicialmente.

La otra mano se cierra en un puño. Para recordar que se ha contado una docena , ahora se extiende un dedo, p. Ej. B. el pulgar hacia afuera.
Ahora continúas contando comenzando de nuevo en uno con tu primera mano . A las doce , la segunda docena está llena.
Para recordar que se han contado dos docenas , ahora se extiende el siguiente dedo de la otra mano, p. Ej. B. después de sacar el pulgar del dedo índice.
Con los cinco dedos de la primera mano puedes contar cinco veces una docena, entonces 5 × 12 = 60.
Ahora puede volver a contar la siguiente docena con la primera mano, es decir, contar hasta 72 con dos manos (12 en la primera más 60 en la otra).

Este sistema de conteo de dedos todavía existe en partes de Turquía , Irak , India e Indochina .

También puede contar hasta 12 × 12 = 144 ( grande ) o 156 (13 × 12) contando con la falange con el segundero.

Al contar una gran cantidad, se puede utilizar una ayuda, como palos, piedras, líneas o los diez dedos de un ayudante. Cinco docenas a la vez, es decir, 60, se anotan con una de las ayudas. Con los diez dedos de un ayudante humano puedes contar hasta 10 × 60 = 600, con las otras ayudas aún más.

Sumerios

Entre los sumerios, el 60 se llamaba gesch .

120: gesch-min (60 × 2)
180: gesch-esch (60 × 3)
240: gesch-limmu (60 × 4)
300: gesch-iá (60 × 5)
360: gesch-asch (60 × 6)
420: gesch-imin (60 × 7)
480: disparo (60 × 8)
540: gesch-ilummu (60 × 9)
600: gesch-u (60 × 10)
Ahora los sumerios no contaban en pasos de 60 ( pasos de gesch ), sino en pasos de 600 (pasos de gesch-u ), es decir, seis veces 600, es decir , hasta 3600, que se llamaba schàr .
Los 3600 se volvieron a aumentar diez veces hasta schàr-u (3600 × 10) 36.000.
Los 36.000 se contaron seis veces hasta 216.000 schàr-gal , literalmente los 3600 grandes ( es decir, 60 × 60 × 60).
Los 216.000 se contaron diez veces hasta 2.160.000 schàr-gal-u (= (60 × 60 × 60) × 10)
El schàr-gal-u se multiplicó inicialmente cinco veces. El sexto múltiplo 12,960,000, es decir, 60 × 60 × 60 × 60, recibió nuevamente su propio nombre, a saber, schàr-gal-shu-nu-tag (la gran unidad superior schàr).

Los números del 10 al 60 tienen un decimal (30 = uschu = esch-u = 3 × 10) y, a veces, incluso una estructura vigesimal (40 = nischmin = nisch-min = 2 × 20).

El sistema sexagesimal en el uso babilónico

Los sumerios usaban antes los signos cuneiformes para los números del 1 al 60 cada uno de medias elipses de diferente tamaño y los números 10 y 3600 = 60² cada uno de los círculos de diferentes tamaños , con lápices cilíndricos se comprimieron en tabletas de arcilla. A partir de estos símbolos, los símbolos para 600 = 10 · 60 y 36000 = 10 · 60² se combinaron en consecuencia. También había otro sistema con niveles decimales de 1, 10 y 100, así como un tercer sistema en tiempo acadio . Hasta finales del período sumerio, los caracteres individuales cambiaron de forma, pero conservaron su carácter individual y formaron un sistema de adición similar a los números romanos . Solo con el sistema sexagesimal babilónico posterior hubo un sistema real de valores posicionales con solo dos caracteres individuales: para 1 y para 10. Con estos, los números del 1 al 59 podrían formarse aditivamente, que a su vez obtuvieron su valor real como el dígitos en el sistema decimal a través de su posición.

Los numerales

Las razones para utilizar el sistema sexagesimal radican en el método de cálculo eficaz y en el número muy limitado de caracteres numéricos individuales a partir de los cuales se formaron los números. Algunos ejemplos de la escritura cuneiforme babilónica:

Sistema sexagesimal en forma de cuneiforme.
	1	2	3	Cuarto	5	Sexto	Séptimo	Octavo	9

10	11	12	13	14	15	dieciséis	17	18	19

Vigésimo	30	40	50

Más ejemplos numéricos:

= 62, = 122 y = 129.

Los números constan de solo dos números individuales. A este respecto, el número de números reales no estaba limitado, aunque solo se hizo referencia a dos números individuales, cuyos tamaños se cambiaron según fuera necesario. Sin embargo, siempre hay problemas con la lectura, porque los dígitos de un número, que en su mayoría resultan del contexto, no eran inequívocos: z. B. podría significar 30, 30x60 o 30/60 y así sucesivamente. Del mismo modo, no había cero, por lo que ocasionalmente faltaba un dígito, lo que, sin embargo, era muy raro y se escribían diferentes números de la misma manera. Posteriormente, a veces se dejaba un hueco en un punto faltante, a partir del siglo VI a. C. en adelante. Un espacio con el valor cero apareció como un signo numérico adicional. Sin embargo, este espacio no se usó directamente en el cálculo y no apareció como un símbolo numérico separado, por lo que no tenía el significado del número cero . El significado como símbolo del número cero, por otro lado, fue dado por primera vez por los indios a su espacio.

Los números sexagesimales se representan mediante números arábigos escribiendo una coma entre dos lugares sexagesimales individuales. Todos los lugares sexagesimales, en cambio, están separados de los rotos por un punto y coma y si faltan lugares o espacios, se escribe un “0” (esto es entonces una interpretación). B. 30.0 = 30 * 60 y 0; 30 = 30/60.

La tecnología informática

Sumar y restar

Al igual que con nuestro sistema decimal , el sistema de valor posicional permitió que el dígito anterior se expandiera o redujera en 1. La forma de las cuñas facilitó el sistema sexagesimal porque solo había que juntar las cuñas. Los términos técnicos utilizados para la suma y la resta eran "multiplicar" y "alejar" (los símbolos matemáticos + y - fueron introducidos por primera vez por Johannes Widmann en el siglo XV dC). Una diferencia negativa entre dos números se expresa con "El sustraendo va más allá". Sumar y restar funciona igual que hoy en día en el sistema decimal.

Ejemplo de una adición:

{\ displaystyle {\ begin {array} {rr} 59 & \\ + \ 11 & \\ + \ 20 & \\\ hline 1 {,} 30 & (= 90), \ end {array}}}

en la notación del sistema sexagesimal. El 1 delante del punto decimal indica el valor 1 · 60, al que se suma el número 30 después del punto decimal.

Ejemplo de una resta:

{\ displaystyle {\ begin {array} {rl} 4 {,} 40 & (= 280) \\ - \ 1 {,} 40 & (= 100) \\ - \ 1 {,} 50 & (= 110) \\\ hline 1 {,} 10 & (= 70), \ end {array}}}

en la notación del sistema sexagesimal. El 4 y el 1 delante del punto decimal indican los valores 4 · 60 y 1 · 60, a los que se suman los números 40, 50 y 10 respectivamente después del punto decimal.

Multiplicar

Para la multiplicación se utilizó el mismo procedimiento que en el sistema decimal. Pero mientras que en el sistema decimal uno tiene que tener en mente la tabla de multiplicar del 1 · 1 al 9 · 9, los babilonios deberían haber sido capaces de memorizar la tabla de multiplicar del 1 · 1 hasta 59 · 59. Para facilitar las cosas, se utilizaron tablas de multiplicar en las que se podían leer los productos requeridos: Cada línea de una tabla de multiplicar comenzaba con el mismo número de cabeza, p . Ej. B.2, seguido de la expresión "tiempos" y el multiplicador, p. Ej. B.1, y finalmente el resultado, p. Ej. B. 2. Los multiplicadores pasaron de 1 a 20 y luego fueron 30, 40 y 50.

Debido a que en el sistema sexagesimal, 60 se calificaba en pasos de 10 (ver arriba debajo de los números) y, en general, los números decimales de la vida diaria se usaban mucho. B. 1.40 = 100 y 16.40 = 1000 tablas de multiplicar creadas. Otra razón es la interacción con los valores de las tablas recíprocas (ver más abajo bajo la división). Si se requerían otros valores, los números se juntaban.

Los números de la cabeza:

1,15	1,20	1,30	1,40	2	2.13.20	2.15	2,24	2.30	3	3,20	3,45	Cuarto	4.30	5	Sexto	6,40	Séptimo	7.12	7.30	Octavo
8,20	9	10	12	12.30	15	dieciséis	16.40	18	Vigésimo	22.30	24	25	30	36	40	44.26.40	45	48	50

Ejemplo de una multiplicación:

{\ displaystyle 29 \ cdot 1 {,} 12 = 29 \ cdot 1 {,} 0 + 20 \ cdot 0 {,} 12 + 9 \ cdot 0 {,} 12 = 29 {,} 00 + 4 {,} 00 +1 {,} 48 = 34 {,} 48}

.

Para dividir

Los babilonios dividieron un número por un número en el que con el recíproco de multiplicaron: ${\ Displaystyle a}$ ${\ Displaystyle n}$ ${\ Displaystyle a}$ ${\ Displaystyle n}$

{\ Displaystyle a: n = a \ cdot {\ frac {1} {n}}}

.

El recíproco de un número se puede encontrar en una tabla de multiplicar con el número de cabeza , si se divide una potencia de 60. Porque estaba allí como resultado , d. H. una potencia de 60, entonces el multiplicador correspondiente era el valor recíproco que estaba buscando ( y tiene la misma representación en el sistema sexagesimal babilónico): ${\ Displaystyle n}$ ${\ Displaystyle n}$ ${\ Displaystyle n}$ ${\ Displaystyle m}$ ${\ Displaystyle m}$ ${\ Displaystyle {\ frac {m} {60 ^ {l}}}}$

{\ Displaystyle n \ cdot m = 60 ^ {l}}

, entonces .

{\ Displaystyle {\ frac {m} {60 ^ {l}}} = {\ frac {1} {n}}}

Los valores recíprocos de los números naturales se volvieron a juntar en tablas recíprocas para facilitar las cosas . Uno escribió en tales tablas para valores que no tenían recíproco en una tabla de multiplicar, "no es" en lugar del recíproco. Para estos números irregulares , que tienen factores primos ≥ 7, se utilizaron valores aproximados como para los números irracionales .

La tabla recíproca utilizada principalmente contiene los siguientes pares de números:

norte	1 / n	norte	1 / n	norte	1 / n	norte	1 / n	norte	1 / n	norte	1 / n	norte	1 / n	norte	1 / n	norte	1 / n	norte	1 / n
2	30	3	Vigésimo	Cuarto	15	5	12	Sexto	10	Octavo	7.30	9	6,40	10	Sexto	12	5	15	Cuarto
dieciséis	3,45	18	3,20	Vigésimo	3	24	2.30	25	2,24	27	2.13.20	30	2	32	1.52.30	36	1,40	40	1,30
45	1,20	48	1,15	50	1.12	54	1,60	60	1	1.4	56.15	1.12	50	1,15	48	1,20	45	1,21	44.26.40

Se puede leer mucho de una tabla recíproca, incluyendo o bien , pero también al revés, etc. ${\ displaystyle {\ frac {1} {3}} = 0; 20}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {3 {,} 0}} = {\ frac {1} {180}} = 0; 0 {,} 20}$ ${\ Displaystyle 1: 0; 3 = 60: 3 = 20}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {20}} = 0; 3}$

Ejemplos de divisiones:

{\ displaystyle 4: 3 = 4 \ cdot {\ frac {1} {3}} = 4 \ cdot 0; 20 = 1; 20}

.

{\ displaystyle 0; 12:25 = 0; 12 \ cdot {\ frac {1} {25}} = 0; 12 \ cdot 0; 2,24 = 0; 0,28,48}

.

Cálculo de raíz

El antiguo matemático e ingeniero griego Heron de Alejandría utilizó el método ya conocido en el antiguo Imperio babilónico en su Métrica para calcular las raíces.

{\ Displaystyle {\ sqrt {a ^ {2} \ pm b}} \ approx a \ pm {\ frac {b} {2a}}}

.

${\ Displaystyle a}$ fue tomado de una tabla de cuadrados. Para la raíz cuadrada (irracional) de 2 obtenemos:

{\ Displaystyle {\ sqrt {2}} = {\ sqrt {1; 20 ^ {2} +0; 13.20}} \ approx 1; 20 + 0; 5 = 1; 25}

,

D. H.

{\ Displaystyle {\ sqrt {2}} = {\ sqrt {\ left ({\ frac {4} {3}} \ right) ^ {2} + {\ frac {2} {9}}}} \ approx {\ frac {4} {3}} + {\ frac {1} {12}} = {\ frac {17} {12}} \ approx 1 {,} 41666667}

.

En una tablilla de arcilla babilónica (Colección Babilónica de Yale 7289) también hay una mejor aproximación en la diagonal de un cuadrado:

{\ displaystyle {\ sqrt {2}} \ approx 1; 24,51,10 \ left (= {\ frac {305470} {216000}} \ approx 1 {,} 41421296 \ right)}

.

Porque

{\ Displaystyle 1; 25> {\ sqrt {2}} = {\ frac {2} {\ sqrt {2}}}> {\ frac {2} {1; 25}} \ approx 1; 24,42, 21 ( \ approx 1 {,} 41176389)}

,

se encuentra entre 1; 25 y 1; 24,42,21 su media aritmética

{\ displaystyle (1; 25 + 1; 24,42,21) \ cdot 0; 30 \ approx 1; 24,51,10}

más cerca a

{\ Displaystyle {\ sqrt {2}} \ approx 1 {,} 41421356}

.

Ahora, la longitud del lado del cuadrado en la tablilla de arcilla se da como 30 y la longitud de las diagonales como 42.25.35, que se puede interpretar como el siguiente cálculo:

{\ displaystyle 0; 30 \ cdot 1; 24,51,10 = 0; 42,25,35}

.

El ejemplo muestra que los babilonios tenían conocimientos algebraicos y geométricos (aquí se podría haber utilizado el “ teorema de Pitágoras ”).

información adicional

Un pariente directo del sistema sexagesimal es el sistema duodecimal con base 12.

literatura

Robert Kaplan: La historia de Zero. Tapa dura: Campus Verlag, Frankfurt am Main 2000, ISBN 3-593-36427-1 . Edición de bolsillo: Piper Verlag, 2003, ISBN 3-492-23918-8 .
Richard Mankiewicz: Viaje en el tiempo de las matemáticas: del origen de los números a la teoría del caos. VGS Verlagsgesellschaft, Colonia 2000, ISBN 3-8025-1440-8 .
Kurt Vogel : Matemáticas pre-griegas. Parte II: Las matemáticas de los babilonios. Schroedel, Hannover y Schöningh, Paderborn 1959.

enlaces web

Wikcionario: sistema sexagesimal - explicaciones de significados, orígenes de palabras, sinónimos, traducciones

Christoph Grandt: El sistema sexagesimal babilónico . (PDF; 215 kB)

Evidencia individual

↑ JP McEvoy: Eclipse solar. Berlin-Verlag, 2001, página 43. K. Vogel: Parte II , página 22 y sig.
↑ K. Vogel: Matemáticas pre-griegas. Parte I: Prehistoria y Egipto. Schroedel, Hannover y Schöningh, Paderborn 1958. p. 16, fig.11.
↑ K. Vogel: Parte II , p. 23.
↑ Georges Ifrah: Historia universal de los números . Edición con licencia dos mil una edición. Campus, Fráncfort del Meno 1993, ISBN 3-86150-704-8 , Das Sexagesimalsystem, p. 69–75 y 90–92 (francés: Histoire universelle des chiffres . Traducido por Alexander von Platen).
↑ Ifrah: Historia universal de los números . 2ª Edición. Campus, Frankfurt am Main y Nueva York 1997, ISBN 3-593-34192-1 , Das Sexagesimalsystem, p. 69 ff . (Primera edición: 1991).
↑ Thureau-Thangin lo llamó una "isla vigesimal dentro del sistema numérico sumerio" en 1932. Ifrah: Historia universal de los números . 2ª Edición. S. 71 .
↑ K. Vogel: Parte II , p. 18 y sig.
↑ K. Vogel, Parte II , p. 34 y sig.

[1] JP McEvoy: Eclipse solar. Berlin-Verlag, 2001, página 43. K. Vogel: Parte II , página 22 y sig.

[2] K. Vogel: Matemáticas pre-griegas. Parte I: Prehistoria y Egipto. Schroedel, Hannover y Schöningh, Paderborn 1958. p. 16, fig.11.

[3] K. Vogel: Parte II , p. 23.

[Ifrah_2-4] Georges Ifrah: Historia universal de los números . Edición con licencia dos mil una edición. Campus, Fráncfort del Meno 1993, ISBN 3-86150-704-8 , Das Sexagesimalsystem, p. 69–75 y 90–92 (francés: Histoire universelle des chiffres . Traducido por Alexander von Platen).

[Ifrah_69-5] Ifrah: Historia universal de los números . 2ª Edición. Campus, Frankfurt am Main y Nueva York 1997, ISBN 3-593-34192-1 , Das Sexagesimalsystem, p. 69 ff . (Primera edición: 1991).

[Ifrah_71-6] Thureau-Thangin lo llamó una "isla vigesimal dentro del sistema numérico sumerio" en 1932. Ifrah: Historia universal de los números . 2ª Edición. S. 71 .

[7] K. Vogel: Parte II , p. 18 y sig.

[8] K. Vogel, Parte II , p. 34 y sig.

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