George Boole

George Boole (alrededor de 1860)

George Boole [ ˌdʒɔːdʒ ˈbuːl ] (nacido el 2 de noviembre de 1815 en Lincoln , Inglaterra , † el 8 de diciembre de 1864 en Ballintemple, County Cork , Irlanda ) fue un matemático inglés ( autodidacta ), lógico y filósofo . Es más conocido por el hecho de que el álgebra de Boole, que es fundamental para la tecnología informática , lleva su nombre. Boole fue el primero en reconocer que la lógica proposicional puede entenderse como un álgebra que tiene dos elementos (ahora referidos como los dos valores de verdad ). Su obra marca el comienzo de un desarrollo con el que se reemplazó la lógica aristotélica tradicional y se integró la lógica en las matemáticas.

Vida

George Boole nació en Lincolnshire. No había asistido a ninguna escuela secundaria que no fuera la primaria. Aprendió por sí mismo griego antiguo, francés y alemán. A la edad de 16 años se convirtió en profesor asistente para mantener económicamente a su familia. A la edad de 19 años, Boole comenzó su propia escuela. Debido a su labor científica se convirtió en profesor de matemáticas en el Queens College de Cork (Irlanda) en 1848 , aunque él mismo no había asistido a una universidad. Allí conoció a Mary Everest , su futura esposa. Se interesó por las matemáticas, trabajó como bibliotecaria y se ocupó de la didáctica de las matemáticas. Su tío George Everest era el homónimo de la montaña más alta del mundo. George y Mary tuvieron cinco hijas, entre ellas la autora y músico Ethel Lilian Voynich (1864-1960) y Alicia Boole Stott (1860-1940), quien, como matemática sin formación académica formal, logró clasificar los poliedros regulares en cuatro dimensiones. . Boole recibió la Medalla Real de la Royal Society en 1844 . En 1847 publicó su obra de lógica histórica El análisis matemático de la lógica y en 1854 su libro más detallado Una investigación de las leyes del pensamiento . En 1857 fue elegido miembro ("Fellow") de la Royal Society.

Lápida de Boole en el cementerio de St Michael, Blackrock, Irlanda

Casa de George Boole, Bachelor's Quay, Cork

Muerte temprana

George Boole murió de un resfriado febril el 8 de diciembre de 1864 a la edad de solo 49 años. En su sendero caminó dos millas bajo la lluvia torrencial hasta la universidad, donde luego dio su conferencia con ropa empapada. Cogió un resfriado, desarrolló fiebre alta y no se recuperó más tarde. Su esposa era partidaria de la naturopatía de la época, que solía tratar "like with like". Se dice que vertió cubos de agua fría sobre su marido, que estaba enfermo de un resfriado febril, en la cama. Se le dio derrame pleural como causa de su muerte .

Trabajo principal

En su obra The Mathematical Analysis of Logic de 1847, Boole creó el primer cálculo lógico algebraico y así fundó la lógica matemática moderna , que se diferencia de la lógica que era habitual hasta ahora por una formalización consistente. Formalizó la lógica clásica y la lógica proposicional y desarrolló un proceso de toma de decisiones para las fórmulas verdaderas utilizando una forma normal disyuntiva . Boole anticipó la solución de los problemas planteados por David Hilbert mucho más de 70 años antes del programa de Hilbert para un área central de la lógica, ya que la decidibilidad de la lógica clásica implica su integridad y ausencia de contradicciones . Como generalizaciones del cálculo lógico de Boole, el llamado álgebra booleana y el anillo booleano fueron posteriormente nombrados en su honor.

En 1964, el cráter lunar Boole recibió su nombre, al igual que el asteroide (17734) Boole en 2001 .

Cálculo original booleano

Boole usó el álgebra común, que hoy se especifica como un anillo de series de potencias sobre el campo de los números reales. Él incorporó la lógica clásica en él al llamar a la conjunción Y como multiplicación y la negación como la diferencia con los términos definidos y lógicos, idempotencia , es decir:${\ Displaystyle 1}$

${\ Displaystyle x}$ Y ${\ Displaystyle y \: = \ x \ land y \: = \ xy}$

NO ${\ Displaystyle x \: = \ \ neg x \: = \ 1-x}$

${\ Displaystyle xx = x}$ para todos los términos lógicos ${\ Displaystyle x}$

Es una incrustación en la que no todos los términos tienen un sentido lógico; por ejemplo, porque la suma no tiene sentido lógico, razón por la cual Boole la llamó no interpretable. La suma es solo una operación parcial en el dominio lógico, por lo que habló de símbolos electivos, funciones electivas y ecuaciones electivas para los términos y operadores lógicos. Este hecho fue criticado por sus sucesores. Pero su método es completamente correcto. Porque el área lógica es operacionalmente cerrada: es la estructura generada por el idempotente indeterminado, el 1, la multiplicación y la negación, ya que es idempotente y con y también y son idempotentes, como se puede calcular fácilmente. Esto significa que todos los operadores lógicos que pueden deducirse por definición también tienen un efecto en esta área, en particular la disyunción de inclusión y exclusión:${\ Displaystyle 2 \ cdot 2 \ neq 2}$${\ Displaystyle 1 + 1}$${\ Displaystyle x + y}$${\ Displaystyle 1}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle y}$${\ Displaystyle xy}$${\ Displaystyle 1-x}$

${\ Displaystyle x}$ O ${\ Displaystyle y \: = \ x \ lor y \: = \ x + y-xy}$

Ya sea o${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle y \: = \ x \ oplus y \: = \ x-2xy + y}$

Ambas definiciones pertenecen al área lógica:

${\ Displaystyle x \ lor y \ = \ x + y-xy \ = \ 1- (1-x) (1-y) \ = \ \ neg (\ neg x \ land \ neg y)}$

${\ Displaystyle x \ oplus y \ = \ x-2xy + y \ = \ x (1-y) + y (1-x) -x (1-y) y (1-x) \ = \ (x \ tierra \ neg y) \ lor (y \ tierra \ neg x)}$

Su definición OR proporciona evidentemente todos los axiomas del álgebra booleana posterior y su definición O BIEN-O todos los axiomas del anillo booleano posterior , por lo que las adiciones y deben distinguirse estrictamente. ${\ Displaystyle \ oplus}$${\ displaystyle +}$

Boole diseñó su cálculo principalmente como lógica conceptual o de clase , en la que el universo (la clase universal) es y las clases indefinidas (conceptos) representan. Dentro de este cálculo, presentó la silogística escolástica con sistemas de ecuaciones y representó sus predicados básicos con ecuaciones:${\ Displaystyle 1}$${\ Displaystyle x, y, z, \ ldots}$

TODOS SON    con remodelación equivalente${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle y \: = \ (xy = x)}$${\ Displaystyle x (1-y) = 0}$

NO SON${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle y \: = \ (xy = 0)}$

En segundo lugar, Boole también usó su cálculo como lógica proposicional , en la que lo indefinido representan declaraciones y los valores de verdad:${\ Displaystyle x, y, z, \ ldots}$${\ Displaystyle 1}$${\ Displaystyle 0}$

${\ Displaystyle x}$ ES VERDAD${\ Displaystyle \: = \ (x = 1)}$

${\ Displaystyle x}$ ESTÁ MAL${\ Displaystyle \: = \ (x = 0)}$

Complementó su proceso de toma de decisiones lógicas utilizando una forma normal con un proceso de toma de decisiones semántico equivalente con sustituciones de valores de verdad en funciones booleanas que asignan un valor de verdad a cada término lógico utilizado. Este procedimiento corresponde al procedimiento de decisión con tablas de verdad , que se utiliza para determinar tautologías .

Modificaciones del cálculo de Boole

Bajo el álgebra de Boole hoy no se entiende el álgebra de Boole como original, sino la Asociación Booleana , el sucesor de Boole desarrollado. En 1864, William Stanley Jevons eliminó los términos matemáticos lógicamente sin sentido de Boole y le dio a la adición un sentido lógico como un OR inclusivo con la regla . Boole, que mantuvo correspondencia con él, no estuvo de acuerdo con esta reinterpretación de la suma porque se violan las reglas del álgebra habitual, porque están implícitas en ella . Sin embargo, prevaleció esta modificación del cálculo de Boole, influenciada significativamente por Ernst Schröder , quien formuló el primer sistema completo de axiomas en 1877, que Giuseppe Peano llevó a la forma moderna no aditiva en 1888.${\ Displaystyle x + x = x}$${\ Displaystyle x + x = x}$${\ Displaystyle x = 0}$

El cálculo booleano también se puede modificar de tal manera que ya no aparezcan términos sin sentido lógico y se conserven las reglas de cálculo habituales para la suma. Para ello, la adición debe completarse en el área lógica y cumplir con la idempotencia; luego, específicamente, lo que implica se mantiene , de modo que también se mantiene y los términos autoinversos están presentes. Esto le da a la adición el sentido de la exclusiva EITHER-OR. Iwan Iwanowitsch Schegalkin dio esta variante de cálculo por primera vez en 1927 junto con una axiomatización completa. El resultado es el llamado anillo booleano , al que Marshall Harvey Stone le dio el nombre en 1936. Los anillos booleanos son computacionalmente elegantes, porque aquí se aplican las reglas matemáticas familiares de la escuela. La forma normal necesaria para la decidibilidad de una fórmula se crea aquí simplemente mediante la multiplicación distributiva y la eliminación de factores dobles y sumandos con la idempotencia y la regla adicional . ${\ Displaystyle (x + 1) (x + 1) = (x + 1)}$${\ Displaystyle x + x = 0}$${\ Displaystyle -x = x}$${\ Displaystyle xx = x}$${\ Displaystyle x + x = 0}$

Ambas variantes de cálculo están implícitamente contenidas en el cálculo original de Boole, ya que se pueden derivar ambos sistemas de axiomas con sus definiciones.

Fuentes

• George Boole: El análisis matemático de la lógica, siendo un ensayo hacia un cálculo del razonamiento deductivo. Macmillan, Barclay y Macmillan et al., Cambridge et al. 1847, ( digitalizado ).
  • traducido, anotado y con epílogo y apéndice por Tilman Bergt: El análisis matemático de la lógica. Ser un ensayo hacia un cálculo de razonamiento deductivo. = El análisis matemático de la lógica. Hallescher Verlag, Halle (Saale) 2001, ISBN 3-929887-29-0 (inglés y alemán).
  • Abreviado y traducido del inglés, reimpreso en: Karel Berka , Lothar Kreiser : Logic Texts. Selección comentada sobre la historia de la lógica moderna. 4ª, en comparación con la 3ª edición ampliada y revisada. Akademie Verlag, Berlín 1986, págs. 25-28, DNB 850989647 , (primera edición 1971).
• George Boole: una investigación de las leyes del pensamiento, en las que se basan las teorías matemáticas de la lógica y las probabilidades. Walton y Maberly et al., London et al. 1854, ( digitalizado ; reimpresión: Dover, Nueva York NY 1958).
• George Boole: manuscritos seleccionados sobre lógica y su filosofía (= redes de ciencia. 20). Editado por Ivor Grattan-Guinness y Gérard Bornet. Birkhäuser, Basel et al. 1997, ISBN 3-7643-5456-9 (inglés).

literatura

• Isaac Asimov : Enciclopedia biográfica de ciencias naturales y tecnología. 2ª Edición. Herder, Freiburg (Breisgau) y otros 1974, ISBN 3-451-16718-2 , p. 280.
• Patrick D. Barry (Ed.): George Boole. Una miscelánea. Prensa de la Universidad de Cork, Cork 1969.
• TAA Broadbent: Boole, George . En: Charles Coulston Gillispie (Ed.): Diccionario de biografía científica . cinta 2 : Hans Berger - Christoph compra boleta . Sons de Charles Scribner, Nueva York 1970, pág. 293-298 . 
• James Gasser (Ed.): Una antología de Boole. Estudios recientes y clásicos en la lógica de George Boole (= Síntesis . Biblioteca de síntesis. 291). Kluwer Academic Publishers, Dordrecht et al.2000 , ISBN 0-7923-6380-9 (estado actual de la investigación).
• Robert Harley: (George Boole, FRS). En: The British Quarterly Review. Volumen 44, No. 87, 2 de julio de 1866, ISSN  0958-8876 , págs. 141-181 .
• Desmond MacHale: George Boole. Su vida y obra (= Perfiles de la serie Genius. 2). Boole Press, Dublín 1985, ISBN 0-906783-05-4 .
• Gordon C. Smith: La correspondencia Boole-De Morgan. 1842-1864 (= Guías lógicas de Oxford. (6)). Clarendon Press, Oxford 1982, ISBN 0-19-853183-4 .
• Ian Stewart : Cantidades de matemáticas. 25 pensadores que escribieron historia (= rororo. 63394). Reinbek cerca de Hamburgo, Rowohlt Taschenbuch Verlag 2018, ISBN 978-3-499-63394-2 , págs. 229–246.
• Marshall H. Stone : La teoría de las representaciones para álgebras booleanas. En: Transacciones de la American Mathematical Society . Volumen 40, núm. 1, 1936, págs. 37-111, JSTOR 1989664 .

enlaces web

• Literatura de y sobre George Boole en el catálogo de la Biblioteca Nacional Alemana
• Boole: una investigación de las leyes del pensamiento , libro electrónico, 2005 en Gutenberg.org
• Stanley Burris:  George Boole. En: Edward N. Zalta (Ed.): Enciclopedia de Filosofía de Stanford .
• Entrada en Boole: George (1815-1864), matemático en los Archivos de la Royal Society , Londres
• John J. O'Connor, Edmund F. Robertson :  George Boole. En: Archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas .
• Perfil de autor en la base de datos zbMATH
• Spektrum.de: George Boole (1815–1864): Le debemos la computadora a su trabajo . El 1 de septiembre de 2018.

Ver también

• Variable booleana
• Operador booleano
• Recuperación booleana
• Función booleana
• Jerarquía booleana

Evidencia individual

1. ↑ 200 cumpleaños de George Boole: el hombre que hizo posible que hiciéramos búsquedas en línea. Spiegel online desde el 2 de noviembre de 2015.
2. ↑ ^{a b} Boole: El análisis matemático de la lógica . Pp. 60ff, definido por la serie MacLaurin .
3. ↑ "[...] es interesante ver que los métodos introducidos por Boole se pueden aplicar de forma mecánica. En efecto, ha dado lo que ahora se llama un procedimiento de decisión "( William Kneale , Martha Kneale : The Development of Logic. Clarendon Press, Oxford 1962, (Reimpresión, con correcciones. Ibid. 1984, ISBN 0-19-824773-7 , pág.240)).
4. ^ Diccionario geográfico de nomenclatura planetaria
5. ↑ Minor Planet Circ. 41942
6. ^ Boole: el análisis matemático de la lógica . P. 18: "Propiedades que poseen en común con los símbolos de cantidad, y en virtud de las cuales, todos los procesos del álgebra común son aplicables al presente sistema". 60ss. Cantidad significa tamaños, la expresión de los números reales en ese momento.
7. ^ Boole: el análisis matemático de la lógica . P. 15 conjunción , p. 17 idempotencia, p. 20 negación .${\ Displaystyle xy}$${\ Displaystyle 1-x}$
8. ^ Boole: una investigación de las leyes del pensamiento . Pág. 66: “La expresión parece ciertamente ininterpretable, a menos que se asuma que las cosas representadas por y las cosas representadas por están completamente separadas; que no acogen a ningún individuo en común ".${\ Displaystyle x + y}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle y}$
9. ^ Boole: el análisis matemático de la lógica . P. 16.
10. ^ William Stanley Jevons: Lógica pura o la lógica de la calidad aparte de la cantidad. Stanford, Londres 1864, p. 3 : Las formas de mi sistema pueden, de hecho, alcanzarse despojándolo de un vestido matemático que, por decir lo mínimo, no es esencial para él.
11. ↑ Ernst Schröder : El grupo operativo del cálculo lógico. Teubner, Leipzig 1877, prólogo p. III : “Lastre de números algebraicos”, “símbolos que no se pueden interpretar como 2, -1, 1/3, 1/0”.
12. ^ Boole: el análisis matemático de la lógica . P. 53 (30) inclusive O, P. 53 (31) exclusivo O BIEN.
13. ^ Boole: el análisis matemático de la lógica . Pp. 31-47.
14. ^ Boole: el análisis matemático de la lógica . Pág. 21 (4) (5).
15. ^ Boole: el análisis matemático de la lógica . Pág. 51 (25) (26).
16. ^ Boole: el análisis matemático de la lógica . Pp. 62-64, Prop. 1 con corolarios; habló aquí de “módulos de una función”.
17. ^ William Stanley Jevons: Lógica pura o la lógica de la calidad aparte de la cantidad. Stanford, Londres 1864, p. 26 (69.) A + A como "A o A" con la regla A + A = A.
18. ↑ Sobre la correspondencia entre Boole y Jevons: George Boole. En: Enciclopedia de Filosofía de Stanford. 5.1 Objeciones al álgebra lógica de Boole.
19. ↑ Ernst Schröder: El grupo operativo del cálculo lógico. Teubner, Leipzig 1877, págs. 8-17 (2) (3) (5) (6) (7).
20. ↑ Giuseppe Peano : Calcolo geometrico secondo l'Ausdehnungslehre di H. Grassmann precedeuto dalle operazioni della logica deduttiva (= Biblioteca matematica. 3, ZDB -ID 1002793-2 ). Fratelli Bocca, Turín 1888, págs. 3-5, en: Álgebra booleana # Definición .
21. ↑ Иван Иванович Жегалкин: О технике вычислений предложений в символической логике. En: Математический Сборник. Volumen 34, 1927, ISSN  0368-8666 , págs. 9-28, aquí pág. 11 f. El sistema de axiomas.