Distribución de polya

La distribución de Pólya describe un cierto tipo de experimento aleatorio y, por lo tanto, pertenece a la estocástica . Lleva el nombre del matemático húngaro-estadounidense George Pólya . La distribución de Pólya también se conoce como distribución de contagio porque se puede utilizar para caracterizar el proceso en el que una persona enferma infecta a otros.

El concepto del modelo de Pólyas no es claro: en la literatura existen varias descripciones breves que no solo incluyen generalizaciones más o menos directas del experimento estándar, sino que en ocasiones incluso transitan del caso habitual discreto al continuo . Sin embargo, el principio básico siempre es comparable.

Concepto de distribución de Pólya

El concepto de distribución de polia se puede demostrar utilizando un modelo de urna : una urna contiene dos tipos de bolas, por ejemplo, rojas y azules. Eliges una bola al azar. Esta bola se vuelve a colocar. Además, se añaden más bolas del mismo color a la urna (desde el exterior). Este proceso se realiza varias veces. La variable aleatoria es el número de experimentos en los que se extrae una bola roja cuando el proceso aleatorio realiza tiempos. Esta variable aleatoria se llama distribuida pólya. ${\ Displaystyle a}$${\ Displaystyle b}$${\ Displaystyle c}$${\ Displaystyle n}$ ${\ Displaystyle X_ {n}}$${\ Displaystyle n}$

distribución

Dejemos que las proporciones de las bolas en la urna se definan como

${\ Displaystyle p = {\ frac {a} {N}}, \ quad q = {\ frac {b} {N}}, \ quad r = {\ frac {c} {N}},}$

con . ${\ Displaystyle N = a + b}$

La función de probabilidad de es entonces ${\ Displaystyle X_ {n}}$

${\ Displaystyle P (X_ {n} = x) = {n \ elige x} {\ frac {p \ cdot (p + r) \ cdot (p + 2r) \ cdots (p + (x-1) r) \ cdot q \ cdot (q + r) \ cdot (q + 2r) \ cdots (q + (nx-1) r)} {1 \ cdot (1 + r) \ cdot (1 + 2r) \ cdots (1+ ( n-1) r)}}}$

para las ocurrencias de las variables aleatorias como ${\ Displaystyle X}$

${\ Displaystyle x = {\ begin {cases} 0,1, \ dots, n & {\ text {if}} c \ geq 0 \\\ max (0, \, nb), \ dots, \ min (a, \, n) & {\ text {cae}} c = -1 \\\ end {cases}}}$.

Para otros valores de la probabilidad se establece igual a cero. ${\ Displaystyle x}$

La expectativa de es ${\ Displaystyle X_ {n}}$

${\ Displaystyle \ operatorname {E} (X_ {n}) = n \ cdot p}$

y la varianza es

${\ Displaystyle \ operatorname {Var} (X_ {n}) = p \ cdot q \ cdot n \ cdot {\ frac {1 + r \ cdot n} {1 + r}}}$.

solicitud

Considere dos patógenos diferentes A y B , los cuales se están propagando en la misma área. Ambos se reproducen de forma epidémica, pero se obstaculizan mutuamente. (De manera similar, también se podrían imaginar dos corporaciones en competencia, etc.) Si una persona viene con uno de los patógenos, p. Ej. B. A : en contacto, permanece infectado, pero se vuelve inmune al patógeno competidor B. El virus A ahora se reproducirá en el nuevo host y distribuirá sus copias en el área (por ejemplo, estornudando). Suponiendo que los patógenos recién generados puedan extenderse por toda el área lo suficientemente rápido (por ejemplo, por los vientos), aumenta la probabilidad de que la próxima víctima se infecte con A. En aras de la simplicidad, las personas deben infectarse una tras otra y debe haber tiempo suficiente para mezclar las nuevas infecciones. ¿Cuál es la probabilidad de una determinada secuencia de infecciones con A o B ? El problema también podría reescribirse:

• No es un virus, sino un insecto más grande que salta de persona a persona.
• El virus no se reproduce pero es destruido por el sistema inmunológico.
• Una vez en contacto con el anfitrión, produce suficientes anticuerpos para destruir inmediatamente una amplia gama de otros virus del mismo tipo (por ejemplo, software antivirus).

Casos especiales y generalizaciones

Casos especiales de distribución de polia

Con solo la bola extraída se vuelve a poner en la urna, por lo que se obtiene la distribución binomial con los parámetros y . ${\ Displaystyle c = 0}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle p}$

Sin reposición de bola, el resultado es un modelo de urna sin recambio. Se obtiene así en una población dicotómica (dos tipos de bolas) es una distribución hipergeométrica con los parámetros , y . ${\ Displaystyle c = -1}$${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle a}$${\ Displaystyle n}$

${\ Displaystyle c = 1}$ describe la constelación clásica de la distribución de Pólya.

Generalizaciones

• Una persona puede infectarse más de una vez.
• Hay más de dos tipos diferentes de patógenos.
• El conjunto de posibles tipos de esferas se convierte en un continuo.

literatura

• PH Müller (Ed.): Léxico de estocásticos , Berlín 1991

enlaces web

• Urna Polya - Pollyanna - 1 de mayo de 2014 (pdf; 244 kB)
• Uso de varias "infecciones" (pdf; 147 kB)
• Más de dos "tipos de patógenos" (pdf; 2,09 MB)
• Un continuo de posibles tipos de esferas