Espacio métrico

En matemáticas, una métrica (también llamada función de distancia ) es una función que asigna un valor real no negativo a dos elementos (también llamados puntos ) del conjunto (también llamado espacio ) . Este valor se llama (en esta métrica) la distancia entre los dos puntos. Un espacio métrico es un conjunto en el que se define una métrica.

Puede haber varias métricas (no equivalentes) para un conjunto.

Definicion formal

Sea cualquier conjunto. Una figura llamada en métrica , si para cualquier elemento , y por los siguientes axiomas se cumplen: ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle d \ colon X \ times X \ to \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle y}$${\ Displaystyle z}$${\ Displaystyle X}$

(1) Definición positiva:	${\ Displaystyle d \ left (x, y \ right) \ geq 0}$     y     , ${\ Displaystyle d \ left (x, y \ right) = 0 \ Leftrightarrow x = y}$
(2) simetría :	${\ Displaystyle d \ left (x, y \ right) = d (y, x)}$,
(3) desigualdad triangular :	${\ Displaystyle d \ left (x, y \ right) \ leq d (x, z) + d (z, y)}$.

El requisito se puede omitir porque se sigue de los demás, hay ${\ Displaystyle d (x, y) \ geq 0}$

${\ Displaystyle 0 = {\ frac {1} {2}} d (x, x) \ leq {\ frac {1} {2}} (d (x, y) + d (y, x)) = { \ frac {1} {2}} (d (x, y) + d (x, y)) = d (x, y).}$

Conceptos básicos

${\ Displaystyle (X, d)}$se llama espacio métrico si una métrica está abierta . Algunos autores también requieren que haya un conjunto no vacío . En la práctica, se denomina principalmente espacio métrico solo si se desprende del contexto que la métrica se utiliza en este espacio . ${\ Displaystyle d}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle d}$

Una isometría es un mapeo que mapea dos espacios métricos entre sí y, por lo tanto, conserva la métrica, es decir, las distancias entre dos puntos.

Generalizaciones y especializaciones

Al debilitar, omitir o endurecer una o más de las condiciones (1) a (3), resultan varias generalizaciones o especializaciones. Lamentablemente, los nombres de las generalizaciones no están estandarizados para todas las áreas de las matemáticas en las que se utilizan. Específicamente, se entiende que un semimétrico en análisis funcional es algo diferente que en topología (ver más abajo).

Ultramétrico

Si la condición de la desigualdad del triángulo se endurece al efecto de que la distancia no debe ser mayor que la mayor de las dos distancias y (con alguna ), se obtiene el término ultramétrico . ${\ Displaystyle d (x, y)}$${\ Displaystyle d (x, z)}$${\ Displaystyle d (z, y)}$${\ Displaystyle z}$

Pseudometría

Si se prescinde de la condición , se obtiene el término pseudometría . En el análisis funcional, el término semimétrico o semimétrico también se usa para esto. En los espacios pseudométricos , los puntos no idénticos pueden tener una distancia de 0. Una pseudometría es semidefinida positiva; H. Las distancias son siempre mayores o iguales a 0. ${\ Displaystyle d \ left (x, y \ right) = 0 \ Rightarrow x = y}$

Cuasi-métrico

Si se prescinde de la simetría, se obtiene el término cuasi-métrico. Se puede utilizar una métrica para generar a partir de una cuasimétrica . ${\ displaystyle d '}$${\ Displaystyle d (x, y): = {\ tfrac {1} {2}} (d '(x, y) + d' (y, x))}$${\ Displaystyle X}$

Métricas no arquimedianas

Si la desigualdad del triángulo se debilita o endurece, se obtienen métricas que no son de Arquímedes. Un ejemplo es para uno o el ultramétrico. ${\ Displaystyle d (x, y) \ leq K (d (x, z) + d (z, y))}$${\ Displaystyle K> 1}$

En topología, las métricas sin desigualdad triangular a veces se denominan semimétricas.

Premétrico

Si solo se requieren la no negatividad y la condición (1), entonces se habla de una premétrica. Para llevar, por ejemplo, ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle d (x, y) = {\ begin {cases} 1 & {\ text {para}} x> y \\ | xy | & {\ text {de otro modo}} \ end {cases}}}$

tal premétrica está definida.

Ejemplos de

Métricas generadas por estándares

Toda norma en un espacio vectorial inducida por la definición

${\ Displaystyle d (x, y) \ equiv \ | xy \ |}$

una métrica. De este modo cada espacio normalizado vector (y especialmente cada producto interior espacio , espacio de Banach o espacio de Hilbert ) es un espacio métrico.

Una métrica que se deriva de una norma p también se denomina métrica de Minkowski . Los casos especiales importantes son

• la métrica de Manhattan también${\ Displaystyle p = 1}$
• la métrica euclidiana también${\ Displaystyle p = 2}$
• la métrica máxima también${\ Displaystyle p = \ infty}$

Se pueden encontrar más ejemplos de normas (y por tanto también de métricas) en el artículo Norma (matemáticas) .

Por ejemplo, las métricas de los siguientes espacios importantes se derivan de una p -norm:

• el espacio unidimensional de números reales o complejos con la cantidad absoluta como norma (con cualquiera ) y la métrica de cantidad dada por ella${\ Displaystyle p}$

${\ Displaystyle d (x, y) = | xy |}$

• el espacio euclidiano con su por el teorema de Pitágoras dada la métrica euclidiana (para la norma euclidiana para )${\ Displaystyle p = 2}$

${\ Displaystyle d (x, y) = {\ sqrt {(x_ {1} -y_ {1}) ^ {2} + \ dotsb + (x_ {n} -y_ {n}) ^ {2}}} }$

De vez en cuando, una métrica se llama un Fréchet métrica

${\ Displaystyle d (x, y) = \ rho (xy)}$

que es inducida por una función que tiene la mayoría de las propiedades de un estándar pero no es homogénea. ${\ Displaystyle \ rho}$

Métricas no generadas por estándares

• Una métrica trivial , la denominada métrica uniformemente discreta (que es incluso ultramétrica), se puede definir en cada conjunto.

  ${\ displaystyle d (x, y) = {\ begin {cases} 0 & {\ text {for}} x = y \\ 1 & {\ text {for}} x \ neq y \ end {cases}}}$

Induce la topología discreta .

• Activado se define mediante una métrica. Respecto a esta métrica no es exhaustiva. También lo es z. B. la secuencia a - Secuencia de Cauchy en la que no converge. La topología generada por esta métrica es la misma que la topología estándar , pero las estructuras uniformes inducidas por las dos métricas son obviamente diferentes.${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ delta (x, y) = | \ arctan (x) - \ arctan (y) | \,}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle (n) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$${\ Displaystyle \ delta}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$
• En general, la métrica de Riemann no es inducida por una norma , que convierte una variedad diferenciable en una variedad de Riemann . Ejemplos de esto:
  • la métrica natural en una superficie esférica en la que el gran círculo es la conexión más corta ( geodésica ) entre dos puntos;
  • la métrica impropia en el espacio de Minkowski de la teoría especial de la relatividad , en la que distancias similares al tiempo a través de [(Δt) ² - (Δx / c) ² - (Δy / c) ² - (Δz / c) ² ] ^{1 / 2} y se dan distancias espacialmente similares a través de [(Δx) ² + (Δy) ² + (Δz) ² - (Δct) ² ] ^1/2 ;${\ Displaystyle \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R} ^ {3}}$
  • la generalización de esta métrica en la relatividad general, que depende de la distribución de la materia .
• La métrica del ferrocarril francés es un ejemplo de práctica popular de una métrica inducida no estándar. Se define con referencia a un punto marcado ( “ Paris ”) como sigue: La distancia entre dos puntos diferentes cuya línea de conexión se ejecuta a través es su distancia bajo la usual métrica euclidiana. La distancia entre dos puntos diferentes cuya línea de conexión no atraviesa es la suma de sus distancias desde .${\ Displaystyle P}$${\ Displaystyle P}$${\ Displaystyle P}$${\ Displaystyle P}$
• La métrica de Hausdorff mide la distancia entre subconjuntos , no elementos , de un espacio métrico; podría llamarse métrica de segundo grado porque utiliza una métrica de primer grado entre los elementos del espacio métrico.
• La distancia de Hamming es una métrica en el espacio de código que indica la diferencia en las cadenas de caracteres (de la misma longitud) .

Topología generada

Las esferas abiertas en un espacio métrico crean (como base ) una topología , la topología inducida por la métrica.

Si se dan dos espacios métricos y , entonces se llaman ${\ Displaystyle (M_ {1}, d_ {1})}$${\ Displaystyle (M_ {2}, d_ {2})}$

• homeomorfo (topológicamente isomorfo) si hay un homeomorfismo (es decir, un mapa que es continuo en ambas direcciones) entre ellos.
• isométrico cuando hayisometría biyectiva entre ellos. Dos objetos isométricos en el espacio euclidiano son congruentes.
  Silas habitaciones no son ni son isométricas, entonces las métricasycuentancomo no equivalentes.${\ Displaystyle M_ {1} = M_ {2}}$${\ Displaystyle (M_ {1}, d_ {1})}$${\ Displaystyle (M_ {1}, d_ {2})}$
• cuasi-isométrico cuando hay cuasi-isometría entre ellos.

Clasificación en la jerarquía de estructuras matemáticas.

Jerarquía de
espacios topológicos y estructuras asociadas

Espacio euclidiano	Posee	Producto escalar
es		inducido
Espacio estandarizado	Posee	estándar
es		inducido
Espacio métrico	Posee	Métrico
es		inducido
Sala de uniformes	Posee	Estructura uniforme
es		inducido
Espacio topológico	Posee	topología

Las métricas dan a una sala una estructura matemática global y local . La estructura global se expresa en propiedades geométricas como la congruencia de figuras. La estructura métrica local, es decir, la definición de distancias pequeñas, permite introducir operaciones diferenciales bajo ciertas condiciones adicionales.

El término " espacio topológico " generaliza el término "espacio métrico": Todo espacio métrico es un espacio topológico con la topología inducida por la métrica (ver entorno ). Cada habitación métrica es una habitación de Hausdorff .

Un espacio topológico se denomina metrizable si es homeomorfo a un espacio métrico . Por tanto, un espacio topológico (X, T) se puede medir si hay una métrica d en X que induce la topología T.

Un espacio métrico completo es un espacio métrico en el que converge cada secuencia de Cauchy . Para obtener más información sobre esto, consulte el espacio completo del artículo detallado . Un espacio vectorial completamente normalizado se denomina espacio de Banach . Un espacio de Banach cuya norma es inducida por un producto escalar se llama espacio de Hilbert . En ausencia de requisitos estructurales, la secuencia de Cauchy y la integridad no se pueden definir en espacios topológicos generales . Si existe al menos una estructura uniforme , entonces hay un filtro de Cauchy y la posibilidad de completar, que asigna un valor límite a cada filtro de Cauchy.

historia

Los espacios métricos fueron utilizados por primera vez en 1906 por Maurice Fréchet en la obra Sur quelques points du calcul fonctionnel . El término espacio métrico fue acuñado por Felix Hausdorff .

literatura

• Otto Forster : Análisis. Volumen 2: cálculo diferencial en R ⁿ . Ecuaciones diferenciales ordinarias. 7ª edición mejorada. Vieweg , Wiesbaden 2006, ISBN 3-8348-0250-6 ( Estudio de Vieweg. Curso básico de matemáticas ).
• Athanase Papadopoulos: Espacios métricos, convexidad y curvatura no positiva. Sociedad Matemática Europea , Zúrich 2004, ISBN 3-03719-010-8 .
• Boto von Querenburg : Establecer topología teórica . 3., reelaboración. y exp. Edición. Springer , Berlín / Heidelberg / Nueva York 2001, ISBN 978-3-540-67790-1 , doi : 10.1007 / 978-3-642-56860-2 . 

Evidencia individual

1. ^ Franz Lemmermeyer : Topología . En: Guido Walz (Ed.): Lexicon of Mathematics . 1ª edición. Editorial Académica Spectrum, Mannheim / Heidelberg 2000, ISBN 978-3-8274-0439-8 .