Coordenadas de Kruskal-Szekeres

Diagrama de Kruskal. En la siguiente animación , cada hipérbola azul representa una posición en un radio constante. El horizonte de eventos corresponde a las diagonales dibujadas. Allí la métrica no es singular . Más bien, las hipérbolas solo desaparecen en los bordes del área sombreada. El área sombreada de arriba corresponde en las coordenadas de Schwarzschild a la singularidad completa de un llamado agujero negro en r = 0.

Diagrama de Kruskal - animación.

Las coordenadas de Kruskal-Szekeres , introducidas por Martin Kruskal y George Szekeres , son coordenadas para la métrica de Schwarzschild , la métrica que describe el espacio exterior de una distribución de masa esféricamente simétrica, no giratoria y eléctricamente neutra.

En contraste con las coordenadas de Schwarzschild que se usan a menudo para esto , las coordenadas de Kruskal-Szekeres en el horizonte de eventos ( ) no son singulares y, por lo tanto, se usan a menudo para describir agujeros negros (más precisamente: para la descripción de observadores internos que se mueven a lo largo de a diferencia de los observadores externos , que están "fijados" a una estrella en el área exterior, por ejemplo). ${\ Displaystyle r = 2M}$

representación

En las siguientes fórmulas, el valor de la constante gravitacional y la velocidad de la luz se utilizan para simplificar ; ser la masa del cuerpo central. El elemento de línea de la métrica de Schwarzschild en coordenadas Kruskal-Szekeres es entonces: ${\ Displaystyle G}$ ${\ Displaystyle c}$${\ Displaystyle 1}$${\ Displaystyle M}$

${\ displaystyle ds ^ {2} = (32M ^ {3} / r) \, e ^ {- r / 2M} \, (- dv ^ {2} + du ^ {2}) + r ^ {2} (d \ theta ^ {2} + \ sin ^ {2} \ theta \, d \ phi ^ {2})}$.

${\ Displaystyle r}$es igual a la de las coordenadas de Schwarzschild y viene implícitamente dado por: ${\ Displaystyle r}$

${\ Displaystyle \ left ({\ frac {r} {2M}} - 1 \ right) \, e ^ {r / 2M} = u ^ {2} -v ^ {2}}$

${\ Displaystyle u}$y resultan de las coordenadas de Schwarzschild y de: ${\ Displaystyle v}$${\ Displaystyle t}$${\ Displaystyle r}$

${\ Displaystyle u = x \, \ cosh (t / 4M)}$y , donde para (es decir, afuera),${\ Displaystyle v = x \, \ sinh (t / 4M)}$${\ Displaystyle x = {\ sqrt {{\ frac {r} {2M}} - 1}} \, e ^ {r / 4M}}$${\ Displaystyle r \ geq 2M}$

${\ Displaystyle u = x \, \ sinh (t / 4M)}$y , donde para (es decir, en el interior).${\ Displaystyle v = x \, \ cosh (t / 4M)}$${\ Displaystyle x = {\ sqrt {1 - {\ frac {r} {2M}}}} \, e ^ {r / 4M}}$${\ Displaystyle r <2M}$

El exterior y el interior están claramente conectados entre sí a través de las diagonales. La expresión corresponde al tiempo adecuado medido con un reloj que se lleva consigo. ${\ Displaystyle -ds ^ {2} / c ^ {2}}$

Historia de la investigación

Las coordenadas de Kruskal-Szekeres fueron encontradas por Martin Kruskal a mediados de la década de 1950, pero solo John Archibald Wheeler las dio a conocer alrededor de 1959 . George Szekeres los encontró en 1961. También fueron encontrados independientemente por Christian Fronsdal en 1959 y por David Finkelstein .

literatura

• Charles Misner , Kip S. Thorne , John A. Wheeler : Gravitación . WH Freeman, San Francisco 1973, ISBN 0-7167-0344-0

enlaces web

• Andreas Muller: Agujeros negros : el secreto más oscuro de la gravitación Página 34 (archivo PDF; 64 kB)
• Andreas Müller: Agujeros negros - Solución Schwarzschild

Evidencia individual

1. ↑ Werner Israel: Estrellas oscuras: la evolución de una idea . En: Stephen Hawking, Werner Israel (Ed.): 300 años de gravitación . Cambridge University Press, 1987, ISBN 978-0-521-37976-2 .