Energía fermi

La energía de Fermi (también nivel de Fermi o potencial de Fermi, entorno más cercano al borde de Fermi; después de Enrico Fermi ) es un término físico de la estadística cuántica . Indica la energía más alta que puede tener una partícula en un sistema de muchos cuerpos de fermiones similares (un gas de Fermi ) cuando el sistema en su conjunto está en su estado fundamental .

En el cero absoluto , todos los estados entre el nivel más bajo posible y la energía de Fermi están completamente ocupados, ninguno por encima de eso. Esto es una consecuencia del principio de Pauli, que solo se aplica a los fermiones (por ejemplo, electrones ), según el cual no puede haber más de una partícula en ningún estado; para obtener una explicación más detallada, consulte las estadísticas de Fermi-Dirac . Por tanto, los estados se llenan con el estado de menor energía. Para el estado fundamental, la energía de Fermi separa los estados ocupados de los desocupados. La energía de Fermi se da como la diferencia de energía al nivel de energía más bajo posible.

Si se agrega energía al sistema, entonces la energía de Fermi denota la energía en la que la probabilidad de ocupación es solo del 50% en equilibrio termodinámico , ver potencial químico .

La energía de Fermi se hace a sí misma z. B. notable en el efecto fotoeléctrico en las superficies metálicas en forma de función de trabajo, es decir, el trabajo que se debe suministrar a un electrón en el borde de Fermi para sacarlo del metal.

Algunos autores se refieren a la energía de Fermi como la diferencia de energía que tiene el estado de ocupación energética más alta por encima del estado fundamental de una sola partícula, mientras que el nivel de Fermi puede referirse a cualquier punto cero y se utiliza especialmente para ello . ${\ Displaystyle T = 0 \, \ mathrm {K}}$${\ Displaystyle T> 0 \, \ mathrm {K}}$

descripción

Lo siguiente se aplica a la energía de Fermi en un gas que consta de fermiones que no interactúan con una relación de dispersión de masa y energía${\ Displaystyle E _ {\ mathrm {F}}}$${\ Displaystyle m}$${\ Displaystyle E (k) = \ hbar ^ {2} k ^ {2} / (2m)}$

${\ Displaystyle E _ {\ mathrm {F}} = {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} (3 {\ pi} ^ {2} n) ^ {\ frac {2} {3} }}$

Con

• el cuanto de acción de Planck reducido (el cuanto de acción de Planck dividido por ),${\ Displaystyle \ hbar}$${\ Displaystyle 2 \ pi}$${\ Displaystyle h}$
• la masa de partículas ${\ Displaystyle m,}$
• la densidad de partículas ${\ Displaystyle n = {\ frac {N} {V}},}$
  • el número de partículas ${\ Displaystyle N,}$
  • el volumen y${\ Displaystyle V}$
• el vector de onda ${\ Displaystyle {\ vec {k}}.}$

La energía de Fermi es una consecuencia de la física cuántica , especialmente la estadística cuántica. La justificación teórica exacta del término presupone un gran número de los no - interactuar partículas. Debido a las diversas interacciones de los fermiones, la energía de Fermi es, estrictamente hablando, una aproximación de gran importancia allí donde las propiedades del sistema están determinadas no tanto por la interacción de las partículas, sino más bien por la mutua exclusión.

Distribución de Fermi
para diferentes temperaturas

La energía de Fermi juega un papel importante para las propiedades de un gas de Fermi no solo en su estado fundamental ( ), sino también a temperaturas más altas, siempre que la energía térmica sea significativamente menor que la energía de Fermi:${\ Displaystyle T = 0 \, \ mathrm {K}}$ ${\ Displaystyle k _ {\ mathrm {B}} T}$

${\ Displaystyle k _ {\ mathrm {B}} T \ ll E _ {\ mathrm {F}}}$

Con

• la constante de Boltzmann y${\ Displaystyle k _ {\ mathrm {B}}}$
• la temperatura absoluta ${\ Displaystyle T.}$

El borde de Fermi ya no es un límite absolutamente nítido donde el número de ocupación de los estados de una sola partícula salta de 1 a 0, sino que se suaviza: el número de ocupación cae constantemente de (casi) 1 a (casi) 0 en un rango de energía de unos pocos . Estos gases de Fermi se denominan degenerados . Todo gas Fermi se degenera si no está demasiado diluido y la temperatura no es demasiado alta. La dependencia exacta del número de ocupación de la energía y la temperatura se describe mediante la distribución de Fermi . ${\ Displaystyle k _ {\ mathrm {B}} T}$

Es cierto que para los sistemas fermiónicos que interactúan débilmente ya no es cierto que todos los estados que están energéticamente por debajo de la energía de Fermi estén ocupados y que todos los de arriba estén desocupados, pero aquí también la energía de Fermi sigue siendo de gran importancia. Los estados excitados con energía justo por encima o por debajo de la energía de Fermi tienen una vida tan larga que todavía están bien definidos como partículas (vida , hablamos de cuasipartículas o agujeros ). "Bien definido como una partícula" debe entenderse aquí en el sentido de que estos estados excitados cerca del borde de Fermi, que no son estados propios del operador de Hamilton con interacción electrón-electrón (de ahí la vida finita), se identifican aproximadamente con los estados propios de el operador de Hamilton sin interacción puede hacerlo. Todo esto se describe en la teoría de fluidos de Fermi . A partir de esta teoría, queda claro que los estados con energías cercanas al borde de Fermi z. B. son esenciales para fenómenos de transporte como la conductividad eléctrica o térmica y por qué las teorías simples que descuidan por completo la interacción electrón-electrón, como la teoría de Drude y Sommerfeld, a veces proporcionan resultados aceptables para materiales reales (principalmente solo para materiales sin interacción fuerte o estructuras de bandas complicadas ). ${\ Displaystyle E}$${\ Displaystyle \ tau \ propto 1 / [(E-E _ {\ mathrm {F}}) ^ {2} + (\ pi k _ {\ mathrm {B}} T) ^ {2}]}$

Derivación para un ejemplo simple

Para esta derivación se considera un sólido con un gas de electrones independientes , despreciando así la interacción electrón-electrón. También se ve en su estado básico, es decir, a una temperatura de 0  Kelvin . Como aproximación para el cuerpo sólido, se toma un potencial periódico infinito y se describe la función de onda en un cubo de longitud de borde , de modo que para la función de onda como condición de contorno${\ Displaystyle L}$

${\ Displaystyle \ Psi (x + L, y, z) = \ Psi (x, y, z)}$(análogo a y )${\ Displaystyle y}$${\ Displaystyle z}$

se aplica. Con la función de Bloch como solución para la ecuación de Schrödinger estacionaria , se obtienen las condiciones para las componentes del vector de número de onda

${\ Displaystyle k_ {i} = {\ frac {2 \ pi n_ {i}} {L}},}$

con números enteros , donde representa el componente -, - o - . ${\ Displaystyle n_ {i}}$${\ Displaystyle i}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle y}$${\ Displaystyle z}$

Para el estado básico, los niveles de energía hasta la energía de Fermi son con ${\ Displaystyle E _ {\ mathrm {F}}}$

${\ Displaystyle E _ {\ mathrm {F}} = {\ frac {\ hbar ^ {2} k _ {\ mathrm {F}} ^ {2}} {2m}}}$

completamente lleno, es decir, de acuerdo con el principio de Pauli con un máximo de dos electrones cada uno con espines opuestos . Aquí está el número de onda que pertenece a la superficie de Fermi . ${\ Displaystyle k _ {\ mathrm {F}}}$

De la condición para ello se sigue que en un -espacio-volumen de ${\ Displaystyle k_ {i}}$${\ Displaystyle k}$

${\ Displaystyle V_ {0} = \ left ({\ frac {2 \ pi} {L}} \ right) ^ {3} = {\ frac {(2 \ pi) ^ {3}} {V}}}$

hay exactamente un estado, en una esfera con el radio y el volumen (la esfera de Fermi ) hay estados, es decir H. hay el doble de electrones. ${\ Displaystyle k _ {\ mathrm {F}}}$${\ Displaystyle V _ {\ mathrm {F}} = (4 \ pi / 3) {k _ {\ mathrm {F}}} ^ {3}}$${\ Displaystyle V _ {\ mathrm {F}} / V_ {0}}$

Si reorganiza esta relación y la usa en la energía de Fermi, obtiene la fórmula mencionada al principio ${\ Displaystyle k _ {\ mathrm {F}}}$

${\ Displaystyle E _ {\ mathrm {F}} = {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} (3 {\ pi} ^ {2} n) ^ {\ frac {2} {3} }.}$

Fermi Energy en semiconductores y aislantes

La energía de Fermi en el semiconductor / aislante se encuentra aproximadamente en el medio de la banda prohibida . Esto resulta de las estadísticas de Fermi-Dirac . El parámetro de energía de Fermi describe la energía en la que un estado de un electrón (si hubiera uno en este punto) está ocupado con probabilidad ½ (que no debe confundirse con el término probabilidad de ser, que es el cuadrado absoluto de la función de onda de un electrón en una determinada ubicación designada).

La energía de Fermi en el semiconductor se puede cambiar mediante dopaje :

• un dopaje mueve la energía de Fermi, debido al mayor número de portadores de carga positiva (huecos) en la dirección de la banda de valencia .${\ Displaystyle p}$
• un dopaje mueve la energía de Fermi, debido al mayor número de portadores de carga negativa (electrones localizados des), en la dirección de la banda de conducción .${\ Displaystyle n}$

Por tanto, la energía de Fermi tiene una influencia importante en las propiedades eléctricas de un semiconductor y es de enorme importancia en el diseño de componentes eléctricos (por ejemplo, transistores ).

Ejemplos de

La energía de Fermi ayuda en muchas áreas de la física a describir fenómenos que no tienen un significado clásico.

• La función de trabajo fija cuando los electrones de conducción en un metal ( p . Ej . , Efecto fotoeléctrico , potencial de contacto , serie electroquímica , ánodo de sacrificio ) es solo la diferencia de energía entre el nivel de Fermi y la energía del electrón en el vacío.
• El calor específico de los metales es mucho más bajo de lo esperado por la física clásica. Porque los electrones de conducción que contiene, que deben calentarse, forman un gas Fermi degenerado que necesita mucha menos energía para calentarse que un gas normal. La razón es que está prohibido que la gran mayoría de los electrones absorban energías de esta magnitud , porque no hay espacio libre en los niveles superiores correspondientes. Solo muy pocos electrones (en relación con la cantidad total de electrones) cerca del borde de Fermi pueden cambiar su energía en estas pequeñas cantidades y, por lo tanto, contribuir al equilibrio térmico. Para dejar claro qué tan estrecho es el borde de Fermi en comparación con su distancia desde el borde de la banda inferior, esto también se expresa como la temperatura de Fermi . Para la mayoría de los metales, está muy por encima de su punto de fusión.${\ Displaystyle k _ {\ mathrm {B}} T \,}$${\ Displaystyle T _ {\ mathrm {F}} = E _ {\ mathrm {F}} / k _ {\ mathrm {B}}}$
• La conductividad eléctrica de los metales es mucho mayor de lo que se puede entender a partir de la física clásica, porque la mayoría de los electrones no contribuyen al transporte de electricidad (porque vuelan en pares en direcciones opuestas) ni están disponibles como compañeros de colisión para los electrones que llevan la corriente cerca. el borde (porque no hay estados desocupados en los que se pueda dispersar). Además, la alta velocidad de los electrones en el borde de Fermi reduce la dispersión de las perturbaciones de la red. Esta velocidad de Fermi (con la masa del electrón ) es alrededor de la mitad de un porcentaje de la velocidad de la luz para la mayoría de los metales .${\ Displaystyle \ textstyle v _ {\ mathrm {F}} = {\ sqrt {\ frac {2E _ {\ mathrm {F}}} {m _ {\ mathrm {e}}}}}}$ ${\ Displaystyle m _ {\ mathrm {e}}}$
• Las estrellas de tipo enana blanca se estabilizan en un cierto radio por el gas de electrones degenerados, porque con la compresión continuada, la energía de Fermi del gas de electrones aumentaría más de lo que cubre la ganancia de energía gravitacional . Esto es cierto para la multitud hasta el límite de Chandrasekhar .
• Las enanas blancas o núcleos de estrellas gigantes con mayor masa explotan que las supernovas . En el curso de la compresión continua, el gas de Fermi de los protones alcanza una energía de Fermi tan alta que pueden convertirse en neutrones (algo más pesados) . Esto abre la posibilidad de una compresión adicional e incluso acelerada, por ejemplo hasta la densidad de la materia nuclear.
• La división de sustancias sólidas según su conductividad eléctrica en aislantes , semiconductores y metales depende de dónde se encuentra el nivel de Fermi en relación con las bandas de energía de los electrones. Si cae dentro de un intervalo de banda , si es un aislante (intervalo de banda ancho) o un semiconductor (intervalo de banda estrecho), si cae en el medio de una banda, es un metal.
• La conductividad eléctrica ampliamente variable de los semiconductores (es decir, la base técnica de los componentes electrónicos) está determinada en gran medida por la ubicación exacta de la energía de Fermi en la banda prohibida: en el caso de un semiconductor intrínseco en el medio, y en el caso de un p -conductor cerca del borde inferior, con un conductor n en la parte superior.
• Si dos sistemas pueden intercambiar partículas, entonces no solo sus temperaturas sino también sus energías de Fermi se ajustan entre sí. Entonces z. B. en contacto de un p-semiconductor con un n-semiconductor un diodo .
• La reacción química en una mezcla de diferentes sustancias generalmente está determinada por el hecho de que conduce a la igualación de los potenciales químicos de todas las sustancias. Para una sustancia cuyas partículas son fermiones, el potencial químico viene dado por el nivel de Fermi.

prueba

1. ↑ Enrico Fermi: Sobre la cuantificación del gas ideal monoatómico. En: Revista de Física. Vol. 36, 1926, págs. 902-912, DOI: 10.1007 / BF01400221 .
2. ↑ Por ejemplo, la superconductividad en la teoría BCS se explica por el hecho de que la energía del gas de electrones en el estado fundamental "normal" todavía puede reducirse, como resultado de una interacción atractiva entre electrones y electrones, que está mediada por la red cristalina , bajo ganancia de energía Cooper - Formas pares .
3. ↑ A veces , a diferencia de este artículo, el término energía de Fermi solo se usa para sistemas en , mientras que el nivel de Fermi también se puede usar en. Esta distinción no es común y no se hace aquí.${\ Displaystyle T = 0 \, \ mathrm {K}}$${\ Displaystyle T> 0}$
4. ^ Gabriele Giuliani, Giovanni Vignale:  Teoría cuántica del electrón líquido. Prensa de la Universidad de Cambridge, 2005.