Valor extremo

Mínimos y máximos de la función cos (3π x ) / x en el rango 0.1≤ x ≤1.1

En matemáticas , valor extremo (o extremum ; plural: extrema ) es el término genérico para un máximo o mínimo local o global . Un máximo o mínimo local es el valor de la función en un punto en el que la función no asume ningún valor mayor o menor en un entorno suficientemente pequeño ; el punto asociado se llama maximizador local o minimizador local , punto máximo o punto mínimo o, en resumen, también llamado punto extremo , la combinación de punto y valor punto extremo . ${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle x}$

Un máximo global también se denomina máximo absoluto ; el término máximo relativo también se usa para un máximo local . Los mínimos locales y globales se definen de forma análoga.

La solución de un problema de valor extremo , para una representación simple, ver la discusión de curvas , se llama solución extrema .

Caso unidimensional

Definicion formal

Sea un subconjunto de los números reales (por ejemplo, un intervalo ) y una función . ${\ Displaystyle U \ subseteq \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle f \ colon U \ to \ mathbb {R}}$

${\ Displaystyle f}$ tiene en el punto ${\ Displaystyle x_ {0} \ in U}$

• un mínimo local si hay un intervalo que contiene tal que es válido para todos ;${\ Displaystyle I = (a, b)}$${\ Displaystyle x_ {0}}$${\ Displaystyle f (x_ {0}) \ leq f (x)}$${\ Displaystyle x \ in I \ cap U}$
• un mínimo global si se aplica a todos ;${\ Displaystyle f (x_ {0}) \ leq f (x)}$${\ Displaystyle x \ in U}$
• un máximo local si hay un intervalo que contiene tal que es válido para todos ;${\ Displaystyle I = (a, b)}$${\ Displaystyle x_ {0}}$${\ Displaystyle f (x_ {0}) \ geq f (x)}$${\ Displaystyle x \ in I \ cap U}$
• un máximo global si se aplica a todos .${\ Displaystyle f (x_ {0}) \ geq f (x)}$${\ Displaystyle x \ in U}$

Si la función tiene un máximo en este punto , el punto se llama punto alto , si tiene un mínimo allí, el punto se llama punto bajo . Si hay un punto alto o bajo, se habla de un punto extremo . ${\ Displaystyle x_ {0}}$${\ Displaystyle (x_ {0}, f (x_ {0}))}$

Existencia de extremos

Son números reales y es una función continua , entonces asumen un máximo global y un mínimo global. Estos también pueden aceptarse en las áreas periféricas o . ${\ Displaystyle a \ leq b}$${\ Displaystyle f \ colon [a, b] \ to \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle a}$${\ Displaystyle b}$

Esta afirmación se deriva del teorema de Heine-Borel , pero a menudo también recibe el nombre de K. Weierstrass o B. Bolzano o se lo conoce como el teorema del máximo y el mínimo.

Determinación de puntos extremos de funciones diferenciables.

Es abierto y tiene una función diferenciable . ${\ Displaystyle U \ subseteq \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle f \ colon U \ to \ mathbb {R}}$

Criterio necesario

Si hay un extremo local en un punto y es diferenciable allí, la primera derivada es cero allí: ${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle x_ {0} \ in U}$

${\ Displaystyle f '(x_ {0}) = 0 \,}$.

Criterios suficientes

• Si es dos veces diferenciable, y también es cierto , entonces tiene un extremo local en el punto . Si y , es un mínimo local, porque por otro lado es un máximo local.${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle f '(x_ {0}) = 0 \,}$${\ Displaystyle f '' (x_ {0}) \ neq 0 \,}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle x_ {0}}$${\ Displaystyle f '(x_ {0}) = 0 \,}$${\ Displaystyle f '' (x_ {0})> 0 \,}$${\ Displaystyle f '' (x_ {0}) <0 \,}$

• Más generalmente, por otro lado, y se puede derivar de acuerdo con la fórmula de Taylor, se aplica lo siguiente: Se puede derivar n veces y se incluye${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle f}$

${\ Displaystyle f '(x_ {0}) = f' '(x_ {0}) = \ ldots = f ^ {(n-1)} (x_ {0}) = 0 \, \ wedge f ^ {( n)} (x_ {0}) \ neq 0,}$

por lo que sigue:

(1) Si es par y (o ), entonces a tiene un máximo (o mínimo) relativo.${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle f ^ {(n)} (x_ {0}) <0}$${\ Displaystyle f ^ {(n)} (x_ {0})> 0}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle x_ {0}}$

(2) Si , sin embargo impar, tiene en ningún extremo local (el valor de la función , pero uno de los subida , que es un punto de inflexión ).${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle x_ {0}}$

O para decirlo de manera bastante general: si la primera derivada distinta de cero de la función en el punto donde es es una derivada de orden par, entonces en este punto tiene un punto extremo, con una derivada distinta de cero para un mínimo y una derivada para hay un máximo. (Compare funciones de la forma: , .)${\ Displaystyle f ^ {(n)}}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle x_ {0}}$${\ Displaystyle f '(x_ {0}) = 0}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle f ^ {(n)}> 0}$${\ Displaystyle f ^ {(n)} <0}$${\ Displaystyle f (x) = x ^ {n}}$${\ Displaystyle n \ in \ mathbb {N}}$

• Si la primera derivada tiene un cambio de signo , entonces hay un extremo. Un cambio de signo de más a menos es un máximo y un cambio de signo de menos a más es un mínimo.${\ Displaystyle x_ {0}}$

• Para funciones continuas en intervalos se aplica lo siguiente: entre dos mínimos locales de una función siempre hay un máximo local, y entre dos máximos locales siempre hay un mínimo local.

• Para las funciones diferenciables en intervalos aplica lo siguiente: Si hay dos dígitos con , de modo que la primera derivada en el intervalo tiene sólo el cero , y es así , a continuación, con tiene un mínimo local. Aplica la condición analógica con y por tanto en un máximo local.${\ Displaystyle a, b}$${\ Displaystyle a <x_ {0} <b}$${\ Displaystyle (a, b)}$${\ Displaystyle x_ {0}}$${\ Displaystyle f (a)> f (x_ {0})}$${\ Displaystyle f (b)> f (x_ {0})}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle x_ {0}}$${\ Displaystyle f (a) <f (x_ {0})}$${\ Displaystyle f (b) <f (x_ {0})}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle x_ {0}}$

Sin embargo, también hay funciones en las que ninguna de las anteriores. Los criterios ayudan (ver más abajo).

Ejemplos

• ${\ Displaystyle f (x) = x ^ {2} +3.}$La primera derivada solo tiene cero en. La segunda derivada es positiva allí, por lo que asume un mínimo local en 0, es decir .${\ Displaystyle f '(x) = 2x}$${\ Displaystyle x_ {0} = 0}$${\ Displaystyle f '' (x) = 2}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle f (0) = 3}$

• ${\ Displaystyle f (x) = x ^ {4} +3.}$La primera derivada solo tiene cero en. La segunda derivada también es 0. Ahora puede continuar de diferentes maneras: ${\ Displaystyle f '(x) = 4x ^ {3}}$${\ Displaystyle x_ {0} = 0}$${\ Displaystyle f '' (x) = 12x ^ {2}}$
  • La tercera derivada también es 0. La cuarta derivada, por otro lado, es la primera derivada superior que no es 0. Dado que esta derivada tiene un valor positivo y es par, según (1) se sostiene que la función tiene un mínimo local allí.${\ Displaystyle f '' '(x) = 24x}$${\ Displaystyle f ^ {(4)} (x) = 24}$
  • La primera derivada tiene al 0 un cambio de signo de menos a más, y por lo tanto tiene en un mínimo local.${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle x_ {0} = 0}$
  • Es así que tiene un mínimo local en el intervalo . Dado que la primera derivada solo tiene el cero en este intervalo , se debe asumir el mínimo local allí.${\ Displaystyle f (-1) = f (1) = 4> 3 = f (0)}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle (-1,1)}$${\ Displaystyle x_ {0} = 0}$

• La función definida por for y by tiene las siguientes propiedades: ${\ Displaystyle f (x) = \ mathrm {e} ^ {- 1 / x ^ {2}} \ sin ^ {2} {\ frac {1} {x ^ {2}}}}$${\ Displaystyle x \ neq 0}$${\ Displaystyle f (0) = 0}$
  • Tiene un mínimo global.${\ Displaystyle x = 0}$
  • Se puede diferenciar tantas veces como desee.
  • Todas las derivadas en son iguales a 0.${\ Displaystyle x = 0}$
  • La primera derivada no tiene cambio de signo en 0.
  • Los otros dos criterios mencionados anteriormente tampoco son aplicables.

Ejemplo de aplicación

En la práctica, los cálculos de valores extremos se pueden utilizar para calcular las especificaciones más grandes o más pequeñas posibles, como muestra el siguiente ejemplo (consulte también el problema de optimización ):

• ¿Cómo debería verse un área rectangular que tiene un área máxima con una determinada circunferencia?

Solución:

La circunferencia es constante, el área debe maximizarse, la longitud y el ancho son: ${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle a}$${\ Displaystyle b}$

${\ Displaystyle 1) \ qquad U = 2 (a + b) \ Rightarrow b = {\ frac {U} {2}} - a}$

${\ Displaystyle 2) \ qquad A = a \ cdot b}$

1) en 2) insertar y remodelar

${\ Displaystyle A (a) = - a ^ {2} + {\ frac {1} {2}} Ua}$

Formar funciones derivadas

${\ Displaystyle A '(a) = - 2a + {\ frac {1} {2}} U}$

${\ Displaystyle A '' (a) = - 2 \ qquad \ Rightarrow}$ Punto alto de función

Solo hay un máximo local, que en el presente ejemplo (sin verificación) es también el máximo global, ya que la segunda derivada es siempre menor que cero independientemente de la variable.

Para encontrar un valor extremo, la primera derivada debe establecerse en cero (ya que esto describe la pendiente de la función original y esta pendiente es cero para los valores extremos. Si la segunda derivada de la función no es cero, entonces hay un mínimo o un máximo).

${\ Displaystyle A '(a) = - 2a + {\ frac {1} {2}} U = 0 \ Rightarrow}$

${\ Displaystyle a = {\ frac {1} {4}} U \ \ Rightarrow \ U = 4a}$

Insertar en 1)

${\ Displaystyle 4a = 2 (a + b) \ \ Rightarrow \ a = b}$

De esto se deduce que se puede lograr la mayor área posible de un rectángulo con una circunferencia dada si las longitudes de ambos lados son iguales (lo que corresponde a un cuadrado). Sin embargo, a la inversa, también se puede decir que un rectángulo con un área determinada tiene la circunferencia más pequeña si

${\ Displaystyle a: b = 1: 1}$

cauteloso, es decir, con un cuadrado.

Caja multidimensional

Es y una función. Además, sea un punto interior de . Se da un mínimo / máximo local en si hay un entorno alrededor en el que ningún punto asume un valor de función mayor o menor. ${\ Displaystyle U \ subseteq \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle f \ colon U \ to \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle x}$

La desaparición del gradiente es análoga al caso unidimensional

${\ Displaystyle Df (x) = \ operatorname {grad} f (x)}$

condición necesaria para que el punto asuma un extremo. En este caso, la definición de la matriz de Hesse es suficiente : si es definida positiva, hay un mínimo local; si es negativo, es un máximo local; si es indefinido, no hay un punto extremo, sino un punto silla . Si es solo semidefinito, no es posible tomar una decisión basada en la matriz de Hesse (ver superficie de Peanos ). ${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle x}$ ${\ Displaystyle D ^ {2} f (x)}$

Caja de dimensiones infinitas

definición

El concepto de máximo y mínimo se transfiere directamente al caso de dimensión infinita. Es un espacio vectorial y un subconjunto de este espacio vectorial, además de funcional. Entonces se puso en el lugar${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle D \ subconjunto X}$${\ Displaystyle f \ colon D \ to \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle {\ tilde {x}} \ in D}$

• un mínimo (global) si para todos${\ Displaystyle f ({\ tilde {x}}) \ leq f (x)}$${\ Displaystyle x \ in D}$
• un máximo (global) si para todos${\ Displaystyle f ({\ tilde {x}}) \ geq f (x)}$${\ Displaystyle x \ in D}$

La adición "global" se suele omitir si el contexto deja claro lo que se quiere decir. Es , además, provisto de una topología proporcionado, por lo que un espacio topológico , a continuación, es en el punto${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle {\ tilde {x}} \ in D}$

• un mínimo local si hay un barrio de los mismos que se aplica a todos .${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle {\ tilde {x}}}$${\ Displaystyle f ({\ tilde {x}}) \ leq f (x)}$${\ Displaystyle x \ in U \ cap D}$
• un máximo local si hay un vecindario de los mismos que se aplica a todos .${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle {\ tilde {x}}}$${\ Displaystyle f ({\ tilde {x}}) \ geq f (x)}$${\ Displaystyle x \ in U \ cap D}$

Un punto se denomina extremo (local) si es un mínimo (local) o un máximo (local). Cada mínimo global (máximo) es un mínimo local (máximo).

Existencia, singularidad y geometría de los extremos

existencia

En correspondencia con los enunciados de existencia para funciones reales, también hay enunciados para la existencia de lugares extremos de funcionales. Si hay un espacio normalizado , entonces: ${\ Displaystyle X}$

• Un funcional débilmente sub-semicontinuo en un conjunto compacto de seguimiento débil asume su mínimo allí.

Dado que esta versión a menudo no es práctica para su aplicación y verificación, esto se debilita a la afirmación de que cada función continua cuasi-convexa asume un mínimo en un subconjunto acotado, convexo y cerrado de un espacio reflexivo de Banach . Esta declaración también se aplica a todos los funcionales convexos, ya que estos siempre son cuasi-convexos. En la dimensión finita, se puede prescindir de la convexidad del subconjunto.

Unicidad

En determinadas circunstancias, los puntos óptimos incluso se determinan claramente. Esto incluye, por ejemplo, convexidad estricta .

geometría

Si uno se limita a ciertas clases de funcionales, puede hacer afirmaciones sobre la geometría del conjunto de puntos extremos.

• Si el funcional es cuasi-convexo en un conjunto convexo, entonces el conjunto de mínimos es convexo.
• Si el funcional es cuasi-cóncavo en un conjunto convexo, entonces el conjunto de máximos es convexo.
• Si el funcional es convexo en un conjunto convexo, entonces cada mínimo local es un mínimo global.
• Si el funcional es cóncavo en un conjunto convexo, entonces cada máximo local es un máximo global.

Otros valores extremos

Optimización discreta

En el caso de problemas de optimización discretos , el concepto de extremo local definido anteriormente no es adecuado, ya que un extremo local en este sentido está presente en cada punto. Por lo tanto, se usa un concepto diferente de entorno para los extremos de una función : se usa una función de vecindad que asigna el conjunto de sus vecinas a cada punto , ${\ Displaystyle f \ colon D \ to \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle N}$

${\ Displaystyle N \ dos puntos D \ a {\ mathcal {P}} (D);}$

representa el conjunto de potencia de . ${\ Displaystyle {\ mathcal {P}} (D)}$${\ Displaystyle D}$

${\ Displaystyle f}$luego tiene un máximo local en un punto si es válido para todos los vecinos . Los mínimos locales se definen de forma análoga. ${\ Displaystyle x_ {0} \ in D}$${\ Displaystyle f (x) \ leq f (x_ {0})}$${\ Displaystyle x \ in N (x_ {0})}$

Cálculo de variaciones

Valores extremos de funciones cuyos argumentos son funciones en sí mismas, p. Ej. B. el contorno de una gota de lluvia con mínima resistencia del aire, son objeto del cálculo de variaciones .

Ver también

• óptimo
• arg max
• Principio máximo

enlaces web

Wikcionario: valor extremo  - explicaciones de significados, orígenes de palabras, sinónimos, traducciones

• Valores extremos (explicados a los estudiantes)

Evidencia individual

1. ^ W. Gellert, H. Küstner, M. Hellwich, H. Kästner: Pequeña enciclopedia de las matemáticas. Leipzig 1970, págs. 433-434.