Teorema de incrustación de Nash

El teorema de incrustación de Nash (después de John Forbes Nash Jr. ) es el resultado de la rama matemática de la geometría riemanniana . Él dice que cada variedad de Riemann puede ser isométrica en un espacio euclidiano de un incrustado adecuado . “Isométrico” se entiende en el sentido de la geometría de Riemann: se retienen las longitudes de los vectores tangenciales y las longitudes de las curvas en la variedad. La métrica euclidiana habitual de debe inducir la métrica dada de la variedad de Riemann en la subvarietal incrustada , de modo que se aplique lo siguiente para la incrustación en coordenadas locales : ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle n}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle g}$${\ Displaystyle u = (u ^ {1}, ..., u ^ {n}) \ dos puntos M \ a \ mathbb {R} ^ {n}}$

${\ Displaystyle \ sum _ {l = 1} ^ {n} {\ frac {\ parcial u ^ {l}} {\ parcial x ^ {i}}} {\ frac {\ parcial u ^ {l}} { \ parcial x ^ {j}}} = g_ {ij}}$

Por tanto, siempre se puede pensar en las variedades de Riemann como subvariedades de un espacio euclidiano. La dimensión del espacio euclidiano es generalmente mucho mayor que la de la variedad de Riemann.

El resultado análogo para las variedades diferenciables ordinarias es el teorema de inclusión de Whitney , que es de naturaleza mucho más simple.

Élie Cartan y Maurice Janet demostraron una inserción en el caso analítico real local en 1926 (con , donde la dimensión es la variedad de Riemann ). Nash demostró la posibilidad de la incrustación global primero para incrustaciones diferenciables en (mejorado por Nicolaas Kuiper ), luego en el caso . En el caso analítico real global, Nash dio una prueba en 1966.${\ Displaystyle n = {\ tfrac {m (m + 1)} {2}}}$${\ Displaystyle m}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle C ^ {1}}$${\ Displaystyle C ^ {k}}$

La demostración de Nash fue simplificada en 1989 por Matthias Günther (Universidad de Leipzig).

Esto da como resultado en cada caso límites para la altura de la dimensión de la función de la dimensión de la variedad Riemanniana incrustada , por ejemplo, en el caso de Nash y Kuiper . En el caso ( ), Nash mostró en 1956 la existencia de una inserción global para (variedad compacta ) o (caso no compacto). ${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle m}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle C ^ {1}}$${\ Displaystyle n \ geq 2m + 1}$${\ Displaystyle C ^ {k}}$${\ Displaystyle k \ geq 3}$${\ Displaystyle n = {\ tfrac {(3m + 11) m} {2}}}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle n = {\ tfrac {(3 m + 11) m (m + 1)} {2}}}$

En su trabajo de 1956, Nash también sentó las bases de la técnica de Nash-Moser, que fue ampliamente utilizada en la teoría de ecuaciones diferenciales parciales no lineales.

literatura

• Quing Han, Jia-Xing Hong Incrustación isométrica de colectores riemannianos en espacios euclidianos. Sociedad Americana de Matemáticas, 2006, ISBN 0821840711 .
• Mikhail Gromov Relaciones diferenciales parciales. Springer 1986.
• Matthias Günther: incrustaciones isométricas de colectores riemannianos. ICM Kyoto 1994 (archivo PDF; 619 kB)

Evidencia individual

1. ↑ Cartan Sur la possibilité de plonger un espace riemannien donné dans une espace euclidien , Ann. Soc. Polon. Math., Vol. 6, 1927, págs. 1-7
2. ↑ Janet Sur la possibilité de plonger un espace riemannien donné dans une espace euclidien , Ann. Soc. Polon. Math., Vol. 5, 1926, págs. 38-43
3. ↑ Nash C1-incrustaciones isométricas , Annals of Mathematics, Volumen 60, 1954, pp 383-396
4. ↑ Kuiper sobre las incrustaciones isométricas C1 I. Nederl. Akad Wetensch. Proc. Ser. A., volumen 58, 1955, págs. 545-556
5. ↑ Nash: El problema de la incrustación para variedades riemannianas. , Annals of Mathematics, Volumen 63, 1956, págs.20-63
6. ^ Nash Analyticity de soluciones de problemas de funciones implícitas con datos analíticos , Annals of Mathematics, Volumen 84, 1966, págs. 345-355. Simplificado por Robert E. Greene, Howard Jacobowitz Incrustaciones isométricas analíticas , Annals of Mathematics, Volumen 91, 1971, págs. 189-204
7. ^ Matthias Günther Sobre el teorema de incrustación de J. Nash , Math. Nachr., Volumen 144, 1989, págs. 165-187, Günther Isometric Embeddings of Riemannian Manifolds , Proc. Congreso Internacional de Matemáticos, Kyoto 1990, Volumen 2, págs. 1137-1143, Günther Sobre el problema de perturbación asociado a incrustaciones isométricas de Manifolds de Riemann , Annals of Global Analysis and Geometry, Volumen 7, 1989, págs. 69-77, Yang Gunther Prueba del teorema de incrustación de Nash , pdf