Parábola de trayectoria

Trayectoria parabólica de un objeto lanzado o disparado

La parábola de trayectoria es la trayectoria que describe un cuerpo cuando se lanza a un campo gravitacional homogéneo si se descuida la influencia de la resistencia del aire . El lanzamiento inclinado es la regla: el lanzamiento vertical y horizontal son casos excepcionales. La parábola de la trayectoria siempre está abierta hacia abajo; el punto más alto de la trayectoria es el vértice de la parábola .

En la Tierra, el campo gravitacional es aproximadamente homogéneo solo a distancias de proyección pequeñas. Entonces la forma parabólica es una buena aproximación. Para una mejor aproximación, el cuerpo sigue una órbita elíptica de Kepler .

Resumen de algunas fórmulas de lanzamiento parabólico

La curva balística es la curva que se desvía de la parábola de trayectoria ideal bajo la influencia de la resistencia del aire . La parábola de la trayectoria es la idealización de la trayectoria balística.

Parábola de trayectoria sin resistencia al aire

El agua de una fuente sigue la forma de una parábola de trayectoria.

La razón de la forma parabólica es el hecho de que solo la gravedad actúa sobre el cuerpo durante el vuelo . Hay una caída libre . Para el cálculo, la velocidad inicial se desglosa en los componentes mutuamente perpendiculares y , que pueden tratarse de forma independiente entre sí. La componente horizontal es completamente independiente de la componente vertical , que se dirige hacia arriba. Esto tiene las siguientes consecuencias (sea el punto de partida ): ${\ Displaystyle v _ {\ mathrm {0x}}}$${\ Displaystyle v _ {\ mathrm {0y}}}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle y}$${\ Displaystyle x = 0, \, y = 0}$

• Según la primera ley de Newton , el cuerpo vuela en dirección horizontal a velocidad constante , ya que ninguna fuerza actúa sobre él en esa dirección; a velocidad constante, la distancia cambia linealmente con el tiempo. La fórmula se aplica a esta distancia:${\ Displaystyle v _ {\ mathrm {0x}}}$

${\ Displaystyle x (t) = v _ {\ mathrm {0x}} \ cdot t}$

• En la dirección vertical, la gravedad provoca una aceleración constante hacia abajo, es decir, la aceleración debida a la gravedad . Lo siguiente se aplica a la velocidad :${\ Displaystyle \ textstyle g = 9 {,} 81 \, {\ frac {\ mathrm {m}} {\ mathrm {s} ^ {2}}}}$ ${\ Displaystyle v _ {\ mathrm {y}}}$

${\ Displaystyle v _ {\ mathrm {y}} (t) = v _ {\ mathrm {0y}} -g \ cdot t}$

La ubicación resulta de esto a través de la integración a lo largo del tiempo: ${\ Displaystyle y}$

${\ Displaystyle y (t) = v _ {\ mathrm {0y}} \ cdot t - {\ frac {g} {2}} \ cdot t ^ {2}}$(→ fórmula general de caída libre )

Descripción matemática

El cuerpo se lanza oblicuamente hacia arriba a una velocidad en ángulo . Entonces, lo siguiente se aplica a los componentes de velocidad a partir de los cuales la velocidad de lanzamiento está compuesta por superposición lineal (despreciando la resistencia del aire): ${\ Displaystyle v_ {0}}$ ${\ Displaystyle \ beta}$

• horizontal: ${\ Displaystyle v _ {\ mathrm {0x}} = v_ {0} \ cos \ beta}$
• vertical: ${\ Displaystyle v _ {\ mathrm {0y}} = v_ {0} \ sin \ beta}$

Esto da como resultado lo siguiente para los componentes y lugar : ${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle y}$

• horizontal: componente horizontal de la velocidad inicial:

${\ Displaystyle x (t) = v_ {0} t \ cos \ beta \ qquad (1)}$

y

• vertical: componente vertical de la velocidad inicial más el cambio de velocidad debido a la aceleración constante:

${\ Displaystyle y (t) = v_ {0} t \ sin \ beta - {\ frac {g} {2}} t ^ {2} \ qquad (2)}$

La ecuación vectorial luego dice:

${\ displaystyle {\ vec {r}} (t) = {\ begin {pmatrix} x (t) \\ y (t) \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} v_ {0} t \ cos \ beta \\ v_ {0} t \ sin \ beta - {\ frac {g} {2}} t ^ {2} \ end {pmatrix}}}$

La ecuación ruta explícita en espacio de coordenadas (por a disolver y a continuación, en usos) es: ${\ Displaystyle (1)}$${\ Displaystyle t}$${\ Displaystyle t}$${\ Displaystyle (2)}$

${\ Displaystyle y (x) = x \ tan \ beta - {\ frac {g} {2 {v_ {0}} ^ {2} \ cos ^ {2} \ beta}} x ^ {2}}$

Significado de las otras variables: es el tiempo, es la aceleración debida a la gravedad . ${\ Displaystyle t}$${\ Displaystyle g}$

Distancia

El rango generalmente se define por el hecho de que la parábola de la trayectoria alcanza nuevamente la altura inicial, es decir, h.: . Con este se puede resolver la ecuación de movimiento y obtener: ${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle y (R) = 0}$${\ Displaystyle R}$

${\ Displaystyle R = {\ frac {{v_ {0}} ^ {2}} {g}} \ sin (2 \ beta)}$

Ángulo inicial para el rango máximo

Dado que la función seno tiene su mayor valor , el mayor rango de se alcanza a la altitud inicial . ${\ displaystyle 90 ^ {\ circ}}$${\ Displaystyle \ sin 90 ^ {\ circ} = 1}$${\ Displaystyle h_ {0} = 0}$${\ Displaystyle \ beta _ {\ mathrm {max}} = 45 ^ {\ circ}}$

Alcance máximo con una altura inicial ${\ Displaystyle h_ {0} \ neq 0}$

${\ Displaystyle \ beta _ {\ mathrm {max}} = \ arcsin {\ frac {v_ {0}} {\ sqrt {2 {v_ {0}} ^ {2} + 2gh_ {0}}}} = \ arccos {\ sqrt {\ frac {{v_ {0}} ^ {2} + 2gh_ {0}} {2 {v_ {0}} ^ {2} + 2gh_ {0}}}} = \ operatorname {arccot} {\ sqrt {1 + {\ frac {2gh_ {0}} {{v_ {0}} ^ {2}}}}}}$

La fórmula con el arcocoseno resulta de la representación del arcocoseno, y para la última representación los argumentos de las dos fórmulas anteriores se dividen entre sí. Es posible que la altura inicial no esté tan por debajo del objetivo que se pueda alcanzar con un lanzamiento vertical con la distancia de lanzamiento , así que: ${\ displaystyle 0}$

${\ Displaystyle h_ {0} \ geq - {\ frac {{v_ {0}} ^ {2}} {2g}}}$

El tiro horizontal máximo en función de la altura de caída es para una duración de vuelo de . ${\ Displaystyle h_ {0}}$${\ displaystyle R _ {\ mathrm {max}} (v_ {0}, h_ {0}) = {\ frac {v_ {0}} {g}} {\ sqrt {{v_ {0}} ^ {2 } + 2gh_ {0}}}}$${\ displaystyle {\ frac {1} {g}} {\ sqrt {2 {v_ {0}} ^ {2} + 2gh_ {0}}}}$

Al reorganizar la ecuación, la fórmula para la distancia de lanzamiento máxima da como resultado la velocidad de lanzamiento mínima para una altura de lanzamiento y una distancia de lanzamiento determinadas, así como un ángulo de lanzamiento óptimo de y una duración de vuelo de . ${\ Displaystyle v_ {0} (R, h_ {0}) = {\ sqrt {g {\ sqrt {R ^ {2} + {h_ {0}} ^ {2}}} - gh_ {0}}} }$${\ Displaystyle \ beta (R, h_ {0}) = \ arcsin {\ sqrt {{\ frac {1} {2}} - {\ frac {h_ {0}} {2 {\ sqrt {R ^ {2 " } + {h_ {0}} ^ {2}}}}}}}}$${\ Displaystyle {\ sqrt {{\ frac {2} {g}} {\ sqrt {R ^ {2} + {h_ {0}} ^ {2}}}}}}$

Las fórmulas ya conocidas resultan para en cada caso. ${\ Displaystyle h_ {0} = 0}$

Grupo de ángulos superior e inferior

Ejemplo del grupo de ángulos superior (azul; 71,1 °) e inferior (naranja; 18,9 °). Ambas trayectorias conducen al objetivo a una distancia de 100 m a la misma velocidad inicial.

Si un objetivo debe alcanzarse a la misma altura a una distancia determinada con un lanzamiento , no hay, una o dos soluciones para esta tarea, dependiendo de la velocidad inicial . El primer caso ocurre cuando el alcance máximo es menor que la distancia al objetivo; el segundo caso, cuando se puede alcanzar el objetivo con un lanzamiento de 45 °. Para velocidades iniciales aún más altas, siempre hay dos ángulos en los que la parábola de la trayectoria conduce ambas veces al objetivo; estos son los dos ángulos positivos que componen la ecuación ${\ Displaystyle R _ {\ mathrm {T}}}$

${\ Displaystyle \ sin (\ beta) \ cos (\ beta) = {\ frac {g} {2v_ {0} ^ {2}}} R _ {\ mathrm {T}}}$

realizar. Por lo tanto, exactamente una solución es siempre mayor de 45 °, la otra menor de 45 °.

En consecuencia, en balística, las soluciones con un ángulo superior a 45 ° se denominan grupo de ángulo superior y las otras como grupo de ángulo inferior. En los seres de artillería se le llama fuego de alto ángulo con un mortero o de fuego plano con un cañón u opcionalmente ambos con un obús .

ejemplo

Para un lanzamiento (o disparo) a un objetivo a 100 m de distancia a la misma altura, la velocidad inicial bajo los supuestos ideales habituales (sin fricción, aceleración debida a la gravedad de 9,81 m / s ² ) debe ser de al menos 31 m / s. Con este valor para la velocidad inicial, se puede lograr con un tiro de 45 ° y solo haciendo esto. Entonces siempre hay dos soluciones para cada valor de velocidad más alto. Por ejemplo, con una velocidad inicial de 40 m / s, el objetivo se puede alcanzar con un ángulo de 18,9 ° y un ángulo de 71,1 °; el tiempo de vuelo es más corto para las soluciones del grupo de ángulo más bajo, en el ejemplo es aproximadamente 2.6 s en comparación con 7.7 s para la segunda solución.

Alcance a una altitud inicial distinta de cero

La fórmula general se aplica a ${\ Displaystyle \ beta \ neq 0}$

${\ displaystyle R = {\ frac {{v_ {0}} ^ {2}} {2g}} \ sin (2 \ beta) \ left [1+ \ left (1 + {\ frac {2gh_ {0}}) {{v_ {0}} ^ {2} \ sin ^ {2} \ beta}} \ right) ^ {1/2} \ right] = {\ frac {v_ {0} \ cos \ beta} {g} } \ left (v_ {0} \ sin \ beta + {\ sqrt {(v_ {0} \ sin \ beta) ^ {2} + 2gh_ {0}}} \ right)}$

para el lanzamiento . El rango máximo y el ángulo de inicio asociado también se pueden determinar a partir de la parábola de la trayectoria envolvente sin utilizar derivadas . Para es al revés , para sigue . ${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle h_ {0}> 0}$${\ Displaystyle \ beta _ {\ mathrm {max}} <45 ^ {\ circ}}$${\ Displaystyle h_ {0} <0}$${\ Displaystyle \ beta _ {\ mathrm {max}}> 45 ^ {\ circ}}$

Vértice

El vértice se alcanza en el momento en que la velocidad vertical es cero, i. es decir, cuando termina un movimiento ascendente hasta ese punto y comienza un movimiento descendente. En el vértice, toda la energía cinética (en dirección vertical) se convirtió en energía potencial .

El vértice se puede calcular porque la basura tiene una forma parabólica y el vértice se encuentra exactamente en el medio entre los ceros y . Entonces el vértice tiene la coordenada . La coordenada se obtiene de la ecuación de movimiento. ${\ displaystyle 0}$${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle x}$${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} R}$${\ Displaystyle y}$

Cuando se resuelve, el vértice tiene las siguientes coordenadas:

${\ displaystyle x _ {\ mathrm {S}} = {\ frac {\ sin (2 \ beta)} {2}} {\ frac {v_ {0} ^ {2}} {g}} = \ sin \ beta \ cos \ beta {\ frac {v_ {0} ^ {2}} {g}}}$

${\ Displaystyle y _ {\ mathrm {S}} = {\ frac {v_ {0} ^ {2} \ sin ^ {2} \ beta} {2g}}}$

Explicación con un ejemplo

Lanzamiento de parábola con escala de altura y tiempo (lanzamiento con ≈ 36 m / s por debajo de 63 °, impacto sin atmósfera después de 8 s)

Sería ni gravedad todavía la resistencia del aire presente, entonces el cuerpo sería el principio de inercia siguientes uniformemente movido en la misma dirección y con la misma velocidad como al principio seguir volando (flecha roja).

Sin embargo, el campo gravitacional de la Tierra desvía el cuerpo hacia abajo, aumentando cuadráticamente con el tiempo : ${\ Displaystyle t}$

• Después de 1 s, la trayectoria real es casi 5 m más baja que la tangente en el punto de inicio (punto de caída),
• después de 2 s por cuatro veces (aprox.20 m),
• después de 3 s 45 m también
• después de 4 s 80 my así sucesivamente (aceleración debida a la gravedad redondeada de 9,81 a 10 m / s²).

Tiro vertical

El lanzamiento vertical es un caso especial importante de la parábola del lanzamiento. Se puede lanzar en dos direcciones diferentes: hacia arriba (contra la aceleración de la gravedad ) y hacia abajo (con la aceleración de la gravedad).

El lanzamiento vertical hacia arriba corresponde a una superposición ininterrumpida de movimiento recto y uniforme hacia arriba y caída libre hacia abajo. Si representa esto en un gráfico, obtiene una parábola simétrica , cuyo punto más alto corresponde al punto de inflexión (vértice) del cuerpo. El resultado de las siguientes fórmulas:

Tiro vertical (fuente en el jardín del Palacio Belvedere , Viena, Austria)

Basura horizontal (fuente en el jardín del Palacio de Belvedere , Viena, Austria)

${\ Displaystyle v = v_ {0} -gt}$

${\ Displaystyle s = v_ {0} t - {\ frac {g} {2}} t ^ {2}}$

• La altura máxima de lanzamiento ${\ Displaystyle h _ {\ mathrm {max}}}$

se calcula ajustando la velocidad , luego primero la ${\ Displaystyle v = 0}$

• Hora de levantarse ${\ Displaystyle t _ {\ mathrm {s}} = {\ frac {v_ {0}} {g}}}$

calculado y finalmente determinado utilizando la siguiente ecuación . ${\ Displaystyle s = h}$

Resulta:

${\ displaystyle h _ {\ mathrm {max}} = {\ frac {{v_ {0}} ^ {2}} {2 \, g}}}$

• La duración del lanzamiento se calcula introduciendo la siguiente ecuación y luego resolviendo la ecuación cuadrática para . Sin embargo, es más fácil determinar el tiempo de lanzamiento duplicando este último, ya que el tiempo de caída es el mismo que el tiempo de subida .${\ Displaystyle t _ {\ mathrm {w}}}$${\ Displaystyle s = h = 0}$${\ Displaystyle t}$${\ Displaystyle t _ {\ mathrm {f}}}$${\ Displaystyle t _ {\ mathrm {s}}}$

El lanzamiento vertical hacia abajo corresponde a una superposición de movimiento directo hacia abajo y caída libre hacia abajo. El resultado de las siguientes fórmulas:

${\ Displaystyle v = v_ {0} + gt}$

${\ Displaystyle h = h_ {0} -v_ {0} t - {\ frac {g} {2}} t ^ {2}}$

Lanzamiento horizontal

Otro caso especial para el que se simplifican las ecuaciones es el tiro horizontal.

${\ displaystyle {\ vec {r}} (t) = {\ begin {pmatrix} v_ {0} t \\ - {\ frac {g} {2}} t ^ {2} \ end {pmatrix}}}$

${\ displaystyle {\ vec {v}} (t) = {\ begin {pmatrix} v_ {0} \\ - gt \ end {pmatrix}}}$

Parábola de trayectoria envolvente

Envolvente de parábolas de trayectoria con velocidad inicial común

Si el ángulo de inicio se cambia a una velocidad de inicio dada (y altura de inicio ) , las diferentes parábolas de trayectoria alcanzan diferentes puntos en el plano de trayectoria (vertical). El rango de estas parábolas de trayectoria está limitado por la parábola de trayectoria envolvente . ${\ Displaystyle v_ {0}}$${\ Displaystyle h_ {0} = 0}$${\ Displaystyle \ beta}$

La ecuación de la curva envolvente de las parábolas de trayectoria es: ${\ Displaystyle y (x) = x \ tan \ beta - {\ frac {g \, x ^ {2}} {2 \, {v_ {0}} ^ {2} \ cos ^ {2} \ beta} } + h_ {0}}$

${\ Displaystyle y _ {\ mathrm {H}} (x) = {\ frac {{v_ {0}} ^ {2}} {2 \, g}} - {\ frac {g \, x ^ {2 }} {2 \, {v_ {0}} ^ {2}}} + h_ {0}}$

Por lo tanto, corresponde a un lanzamiento horizontal ( ) desde la altura de lanzamiento máxima alcanzable del lanzamiento vertical con su velocidad inicial . ${\ Displaystyle \ beta = 0}$${\ Displaystyle v_ {0}}$

Distancia de lanzamiento al lanzar en una pendiente

También puede determinar el ángulo para el rango máximo para lanzamientos en planos inclinados.

Parábola de trayectoria con resistencia al aire

Trayectorias con resistencia del aire en diferentes ángulos de lanzamiento

La resistencia del aire frena proporcionalmente . A bajas velocidades y misiles compactos, la forma parabólica se conserva bastante bien, como se puede ver en la trayectoria de una pelota de golf idealizada sin los efectos de elevación de los giros y los hoyuelos. A una velocidad inicial de 65 m / s, vuela unos 200 metros en una trayectoria casi simétrica. Sin embargo, la fuerza con la que actúa la resistencia del aire en un volante muestra el dibujo adyacente para 65 m / s. Al final de su trayectoria, la pelota cae casi verticalmente al suelo, después de solo 10 a 15 metros. La distancia máxima de vuelo tampoco se alcanza a 45 °, sino a un ángulo de despegue de 20 °. A velocidades iniciales más bajas, aumenta y se acerca a la parábola de 45 °. ${\ Displaystyle v ^ {2}}$

En el caso de misiles con un tiempo de combustión corto (misiles de corto alcance, misiles antiaéreos), la forma de la trayectoria de vuelo es similar a la de un lanzamiento oblicuo de un cuerpo elegante. El rango se determina entonces por la velocidad inicial y la altura del vértice, que a su vez depende de la cocción ángulo.

Vuelo parabólico

Ingravidez durante un vuelo parabólico

El vuelo parabólico es una maniobra de vuelo, generalmente ejecutada a gran altura, en la que un avión describe un minuto de trayectoria aproximadamente semiparabólica. Se utiliza para entrenar a los astronautas en ingravidez y para experimentos con gravedad reducida, la llamada microgravedad .

enlaces web

• Miniaplicación interactiva para ilustrar el lanzamiento torcido
• Vídeo: movimiento bidimensional y principio de superposición inalterada . Jakob Günter Lauth (SciFox) 2019, disponible en la Biblioteca de información técnica (TIB), doi : 10.5446 / 40456 .

Evidencia individual

1. ↑ Peter Kosmol: Optimización y aproximación . Walter de Gruyter, 2010, pág. 215 ( vista previa limitada en la búsqueda de libros de Google). 
2. ↑ Pueblo Ulrich: Física y sus aplicaciones en tecnología y medio ambiente . Hanser Verlag, 2004, pág. 22 ( vista previa limitada en la búsqueda de libros de Google). 
3. ↑ La parábola es axialmente simétrica al eje-.${\ Displaystyle y}$