Teorema del radón-Nikodým

En matemáticas , el teorema de Radon-Nikodým generaliza la derivación de una función a dimensiones y dimensiones con signo . Proporciona información sobre cuándo una medida (con signo) puede representarse mediante la integral de Lebesgue de una función , y es de importancia central tanto para la teoría de medidas como para la teoría de probabilidades . ${\ Displaystyle \ nu}$ ${\ Displaystyle f}$

La sentencia lleva el nombre del matemático austriaco Johann Radon , que probó el caso especial en 1913 , y el polaco Otton Marcin Nikodým , que pudo probar el caso general en 1930. ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

Observación preliminar

Si una medida está en el espacio de medición y es una función medible que puede integrarse o cuasi integrarse , entonces a través de ${\ Displaystyle \ mu}$ ${\ Displaystyle (X, {\ mathcal {A}})}$${\ Displaystyle f \ colon X \ to \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mu}$

${\ Displaystyle \ nu (E) = \ int _ {E} f \, \ mathrm {d} \ mu}$para todos ,${\ Displaystyle E \ in {\ mathcal {A}}}$

un título firmado en definido. Si no es negativo, hay una medida. Es integrable con respecto a él es finito. ${\ Displaystyle \ nu}$${\ Displaystyle (X, {\ mathcal {A}})}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle \ nu}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle \ mu}$${\ Displaystyle \ nu}$

La función se llama entonces función de densidad de respeto . Si un conjunto-cero, es decir, es , entonces también lo es . La medida (firmada) es, por tanto, absolutamente constante con respecto a (en caracteres ). ${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle \ nu}$${\ Displaystyle \ mu}$${\ Displaystyle E \ in {\ mathcal {A}}}$${\ Displaystyle \ mu}$${\ Displaystyle \ mu (E) = 0}$${\ Displaystyle \ nu (E) = 0}$${\ Displaystyle \ nu}$${\ Displaystyle \ mu}$${\ Displaystyle \ nu \ ll \ mu}$

El teorema de Radon-Nikodým establece que, bajo ciertas condiciones, también se cumple lo contrario:

Formulación de la oración

Sea una medida σ-finita en el espacio de medición y sea una medida σ-finita con signo que sea absolutamente continua con respecto a ( ). ${\ Displaystyle \ mu}$${\ Displaystyle (X, {\ mathcal {A}})}$${\ Displaystyle \ nu}$${\ Displaystyle \ mu}$${\ Displaystyle \ nu \ ll \ mu}$

Entonces tiene una función de densidad con respecto a , es decir, existe una función medible tal que ${\ Displaystyle \ nu}$${\ Displaystyle \ mu}$${\ Displaystyle f \ colon X \ to \ mathbb {R}}$

${\ Displaystyle \ nu (E) = \ int _ {E} f \, \ mathrm {d} \ mu}$para todos .${\ Displaystyle E \ in {\ mathcal {A}}}$

Es otra función con esta propiedad, es cierto , casi en todas partes con la misma. Si hay una medida, entonces no es negativa. Es finito, entonces es integrable con respecto a . ${\ Displaystyle g}$${\ Displaystyle \ mu}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle \ nu}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle \ nu}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle \ mu}$

La función de densidad también se conoce como la densidad de Radon-Nikodým o Radon-Nikodým derivación de con respecto a y está escrito en analogía con el cálculo diferencial como . ${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle \ nu}$${\ Displaystyle \ mu}$${\ Displaystyle {\ tfrac {\ mathrm {d} \ nu} {\ mathrm {d} \ mu}}}$

El teorema se puede generalizar a medidas complejas , pero no generalmente a medidas vectoriales . En el caso de medidas vectoriales, la validez depende del espacio de Banach utilizado para los valores de la medida. Los espacios para los que la proposición sigue siendo válida se denominan espacios con la propiedad Radon-Nikodym . ${\ Displaystyle \ nu}$

caracteristicas

• Había , y al final, mediciones en la misma sala de medición. Si  y ( y son absolutamente continuos con respecto a ) entonces se mantiene${\ Displaystyle \ nu}$${\ Displaystyle \ mu}$${\ Displaystyle \ lambda}$ ${\ Displaystyle \ sigma}$${\ Displaystyle \ nu \ ll \ lambda}$${\ Displaystyle \ mu \ ll \ lambda}$${\ Displaystyle \ nu}$${\ Displaystyle \ mu}$${\ Displaystyle \ lambda}$

${\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} (\ nu + \ mu)} {\ mathrm {d} \ lambda}} = {\ frac {\ mathrm {d} \ nu} {\ mathrm {d} \ lambda}} + {\ frac {\ mathrm {d} \ mu} {\ mathrm {d} \ lambda}}}$   ${\ Displaystyle \ lambda}$-Casi en cualquier parte.

• Si es, entonces sostiene${\ Displaystyle \ nu \ ll \ mu \ ll \ lambda}$

${\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ nu} {\ mathrm {d} \ lambda}} = {\ frac {\ mathrm {d} \ nu} {\ mathrm {d} \ mu}} {\ frac {\ mathrm {d} \ mu} {\ mathrm {d} \ lambda}}}$   ${\ Displaystyle \ lambda}$-Casi en cualquier parte.

• Si y es una función integrable, entonces se aplica${\ Displaystyle \ mu \ ll \ lambda}$${\ Displaystyle g}$${\ Displaystyle \ mu}$

${\ Displaystyle \ int _ {X} g \, \ mathrm {d} \ mu = \ int _ {X} g {\ frac {\ mathrm {d} \ mu} {\ mathrm {d} \ lambda}} \ , \ mathrm {d} \ lambda.}$

• Si y es, entonces se aplica${\ Displaystyle \ mu \ ll \ nu}$${\ Displaystyle \ nu \ ll \ mu}$

${\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ mu} {\ mathrm {d} \ nu}} = \ left ({\ frac {\ mathrm {d} \ nu} {\ mathrm {d} \ mu} } \ right) ^ {- 1}.}$

• Si es una medida con signo finito o una medida compleja, entonces se cumple${\ Displaystyle \ nu}$

${\ Displaystyle {\ mathrm {d} | \ nu | \ over \ mathrm {d} \ mu} = \ left | {\ mathrm {d} \ nu \ over \ mathrm {d} \ mu} \ right |.}$

Medidas de probabilidad de casos especiales

Sea un espacio de probabilidad y sea una medida de probabilidad demasiado equivalente , i. H. y . Entonces existe una variable aleatoria positiva tal que y , donde denota el valor esperado con respecto a. Si es una variable aleatoria real, entonces si y solo si . Lo siguiente se aplica al valor esperado en este caso . (Para la notación, vea también espacio Lp ). ${\ Displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, P)}$${\ displaystyle Q}$${\ Displaystyle P}$${\ Displaystyle P \ ll Q}$${\ Displaystyle Q \ ll P}$ ${\ Displaystyle Z \ en L ^ {1} (P)}$${\ Displaystyle {\ tfrac {\ mathrm {d} Q} {\ mathrm {d} P}} = Z}$${\ Displaystyle E_ {P} (Z) = 1}$${\ Displaystyle E_ {P}}$${\ Displaystyle P}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X \ en L ^ {1} (Q)}$${\ Displaystyle XZ \ in L ^ {1} (P)}$${\ displaystyle Q}$${\ Displaystyle E_ {Q} (X) = E_ {P} (XZ)}$

Si una medida de probabilidad es absolutamente continua en la línea real con respecto a la medida de Lebesgue , entonces la densidad Radon-Nikodým es la densidad de probabilidad de , en el sentido de igualdad, casi en todas partes. En este caso se llama una distribución de probabilidad absolutamente continua ; en particular, entonces no puede ser discreto . ${\ Displaystyle P}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle \ lambda}$${\ Displaystyle {\ tfrac {\ mathrm {d} P} {\ mathrm {d} \ lambda}}}$${\ Displaystyle P}$${\ Displaystyle \ lambda}$${\ Displaystyle P}$${\ Displaystyle P}$

Declaraciones adicionales

El teorema de descomposición de Lebesgue proporciona un enunciado adicional en el caso de que no sea absolutamente continuo con respecto a . Se trata de la existencia y unicidad de una descomposición de tal que una parte es absolutamente continua con respecto a , es decir, tiene una densidad con respecto a , y otra parte es singular con respecto a . ${\ Displaystyle \ nu}$ ${\ Displaystyle \ mu}$${\ Displaystyle \ nu}$${\ Displaystyle \ mu}$${\ Displaystyle \ mu}$${\ Displaystyle \ mu}$

También hay formulaciones del teorema de Radon-Nikodým para clases más grandes de espacios de dimensión que los espacios de dimensión finita, los llamados espacios de dimensión descomponible . ${\ Displaystyle \ sigma}$

literatura

• Jürgen Elstrodt : Teoría de la medida e integración. 7ª edición, corregida y actualizada. Springer, Berlín et al.2011, ISBN 978-3-642-17904-4 .
• Dirk Werner : Análisis funcional. 6ª edición corregida. Springer, Berlín y otros 2007, ISBN 978-3-540-72533-6 .