Transformación de radón

La transformada de radón es una transformación integral de una función en dos variables. La integral de línea de la función a lo largo de todas las líneas rectas de la - plano se determina. Para cada una de estas líneas rectas, la transformada de radón se puede imaginar como una proyección de la función sobre una línea recta perpendicular a ella. La transformación Radon está relacionada con la transformación de Fourier y representa en dos dimensiones una generalización de la transformación de Abel y un caso especial de la transformación de Hough . La variante extendida a números complejos se denomina transformación de Penrose . ${\ Displaystyle f (x, y)}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle y}$${\ displaystyle Rf}$${\ Displaystyle f (x, y)}$

La transformación Radon lleva el nombre del matemático austriaco Johann Radon . Lo introdujo en 1917 en la publicación Sobre la determinación de funciones por sus valores integrales a lo largo de ciertas variedades . Una aplicación práctica importante de esta transformación, más precisamente la transformación inversa, se encuentra en la tomografía computarizada para la adquisición de imágenes.

definición

Sea continua y cero idénticamente fuera de un círculo de radio finito y sea una línea recta definida por el ángulo al eje xy su distancia desde el origen. Entonces la transformada de radón viene dada por la integral de línea de a lo largo . ${\ Displaystyle f \ colon \ mathbb {R} ^ {2} \ rightarrow \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ gamma}$${\ Displaystyle \ alpha}$${\ Displaystyle r}$${\ Displaystyle f (x, y)}$${\ Displaystyle \ gamma}$

${\ Displaystyle Rf (\ gamma) = \ int _ {\ gamma} f (x, y) \, \ mathrm {d} s}$

La línea recta se puede parametrizar como . Esto significa que la integral de línea también se puede escribir como ${\ Displaystyle \ gamma}$${\ Displaystyle (x (t), y (t)) = (r \ cos \ alpha + t \ sin \ alpha, r \ sin \ alpha -t \ cos \ alpha)}$

${\ Displaystyle Rf (r, \ alpha) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (r \ cos \ alpha + t \ sin \ alpha, r \ sin \ alpha -t \ cos \ alpha) \, \ mathrm {d} t.}$

Transformación inversa

La transformación hacia atrás puede tener lugar con la ayuda de la proyección hacia atrás filtrada o mediante el desvío de la transformación de Fourier teniendo en cuenta el teorema de la sección central .

El problema de la transformación inversa es un problema mal planteado porque la solución no es una función continua de los datos de entrada. Para resolver el problema con suficiente precisión, se pueden utilizar técnicas de regularización o métodos iterativos .

Aplicación de la transformación del radón

En tomografía, las integrales de una función se determinan mediante líneas rectas y las imágenes se calculan a partir de ellas mediante proyección inversa de radón. Por ejemplo, en la tomografía computarizada con rayos X, la absorción de la radiación se determina a lo largo de una línea recta desde la fuente de rayos X hasta un detector, es decir la integral sobre la absorción. En lugar de rayos X, también se pueden utilizar otros rayos como la radiación gamma, como en la tomografía por emisión de positrones . En todas estas variantes, la medición se realiza para un gran número de tales líneas rectas en un plano en el que muchos detectores y muchas posiciones de la fuente de radiación se mueven alrededor del objeto a transiluminar. Se determina la transformación del radón de la absorción de radiación, aunque solo para un número finito de valores de los dos parámetros. La imagen bidimensional se puede obtener a partir de estos valores con la ayuda de la transformación inversa. Alinear varias de estas "imágenes seccionales" bidimensionales da como resultado una imagen tridimensional.

Las imágenes de prueba se utilizan para evaluar los algoritmos de imágenes, como se muestra a continuación en la imagen de prueba de Shepp-Logan. La imagen de la prueba Shepp-Logan representa un gráfico similar al que se encuentra en los diagnósticos médicos, una vista en sección simplificada a través de la cabeza humana:

• Secuencia de imágenes de Shepp-Logan
• 

  Imagen original (imagen de prueba de Shepp-Logan)

• 

  Transformada de radón de la imagen original.
  Calculado sobre 180 ° en pasos de 2 °.

• 

  La imagen transformada inversa con artefactos causados ​​por la resolución finita

enlaces web

• Aplicación de la transformación de Radon para imágenes de TC (archivo PDF; 4,07 MB)
• Página MathWorld
• Más explicaciones

Evidencia individual

1. ↑ Johann Radon: Acerca de la determinación de funciones a lo largo de ciertas variedades . En: Informes sobre las negociaciones de la Royal Saxon Society of Sciences en Leipzig. Clase físico-matemática . cinta 69 , 1917, págs. 262-277 . 
2. ^ AK Louis: Problemas inversos y mal planteados. Teubner, 1989 (Capítulos 6.1 y 6.2)