Línea recta

Las torres de la iglesia están a unos 17,5 km en línea recta y están separadas por una frontera estatal:
delante a la derecha la Iglesia Católica de San Jakobus en Schutterwald (Alemania), en la parte trasera a la izquierda la catedral de Estrasburgo (Francia)

El camino más corto en la superficie de la tierra entre los puntos A y B es un ortodromo.

Tomado temprano en la mañana en un día claro, el Hoher Schneeberg en la Suiza bohemia. Desde la ubicación de la cámara en Dresde hay aproximadamente 53 km en línea recta. La torre Schneeberg de 33 m de altura también es claramente reconocible. En primer plano se puede ver el Schuttberg Leuben (izquierda) y la antena del Cottaer Spitzberg (derecha).

En línea recta , se describe la distancia más corta entre dos puntos en el paisaje por aire directo si los dos puntos están en la línea de visión. En este caso, la línea recta es una distancia (que también puede superar grandes diferencias de altitud en el terreno, por ejemplo, en las montañas). ¿La línea de visión atraviesa un obstáculo, p. Ej. Si, por ejemplo, se interrumpe un edificio o una montaña, la línea recta corresponde a la distancia entre los dos puntos si el obstáculo no estuviera allí.

A distancias mayores, la línea recta no tiene en cuenta el contorno del terreno, es decir, elevaciones, valles y diferencias de altura, pero incluye la forma esférica de la tierra. En este caso, la línea recta corre "horizontalmente" y sigue la curvatura de la tierra; Desde un punto de vista matemático, aquí la línea recta corresponde a un arco de un círculo que se encuentra en un gran círculo alrededor del centro de la tierra (compárese con la trigonometría esférica ). Cuando estas rutas se proyectan en mapas planos , generalmente ya no se crean líneas rectas , sino curvas , que, sin embargo, siguen representando la distancia más corta entre dos puntos. Por ejemplo, la línea recta entre Nueva York y Berlín atraviesa Escocia. En geometría y navegación , se habla más precisamente de ortodromo que de línea recta.

A la hora de navegar, se da preferencia al Loxodrome en lugar del Ortodrome: el Loxodrome se caracteriza por el hecho de que el ángulo de orientación con respecto al objetivo no cambia.

Una proyección cartográfica en la que los grandes círculos (y por tanto las líneas aéreas entre dos puntos) siempre se representan como líneas rectas es la proyección gnomónica .

Cálculo para el mundo

La tierra puede considerarse una buena aproximación como esfera. Para simplificar las cosas, se puede suponer que el radio de la esfera es uno. Las coordenadas cartesianas se calculan a partir de la latitud geográfica y la longitud geográfica de un punto - con el eje en la dirección del eje de la tierra - con la ayuda de las funciones trigonométricas seno y coseno : ${\ Displaystyle \ varphi}$ ${\ Displaystyle \ lambda}$${\ Displaystyle P}$ ${\ Displaystyle (x, y, z)}$${\ Displaystyle z}$

${\ Displaystyle (x, y, z) = (\ cos (\ varphi) \ cdot \ sin (\ lambda), \ cos (\ varphi) \ cdot \ cos (\ lambda), \ sin (\ varphi))}$

Otro punto del globo tiene las mismas coordenadas ${\ Displaystyle P '}$

${\ Displaystyle (x ', y', z ') = (\ cos (\ varphi') \ cdot \ sin (\ lambda '), \ cos (\ varphi') \ cdot \ cos (\ lambda '), \ pecado (\ varphi '))}$

En primer lugar, la distancia euclidiana entre los dos puntos en el espacio tridimensional se puede calcular con el teorema de Pitágoras (esta no es la línea recta, sino la longitud de la distancia que atraviesa el globo):

${\ Displaystyle d (P, P ') = {\ sqrt {(x-x') ^ {2} + (y-y ') ^ {2} + (z-z') ^ {2}}}}$

En cada punto de esta línea hay una perpendicular que es perpendicular a la superficie de la tierra (hay un punto del ortodromo) y consecuentemente pasa por el centro de la tierra. Todos los puntos de dicha perpendicular tienen las mismas coordenadas geográficas , pero un radio diferente (distancia desde el centro de la tierra). Si se utiliza el radio de la tierra como radio , se pueden calcular las coordenadas geográficas para cada punto del ortodromo. ${\ displaystyle R}$

El ángulo de apertura ahora se puede calcular a partir de la distancia y el radio de la tierra : ${\ Displaystyle d}$${\ Displaystyle \ omega}$

${\ Displaystyle \ sin (\ omega / 2) = {\ frac {d / 2} {R}} \ qquad \ Rightarrow \ omega = 2 \ cdot \ arcsin \ left ({\ frac {d / 2} {R} } \ derecho)}$

Alternativamente, el ángulo de apertura se puede calcular con el producto escalar:

${\ Displaystyle \ cos (\ omega) = {\ frac {{\ vec {a}} \ cdot {\ vec {b}}} {| {\ vec {a}} || {\ vec {b}} | }} = {\ frac {x * x '+ y * y' + z * z '} {{\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}} {\ sqrt { x '^ {2} + y' ^ {2} + z '^ {2}}}}}}$, eso simplifica la ecuación.${\ Displaystyle | {\ vec {a}} | = | {\ vec {b}} | = 1}$

${\ Displaystyle \ Rightarrow \ omega = \ arccos \ left (x * x '+ y * y' + z * z '\ right)}$

Alternativamente, el ángulo de apertura también se puede calcular directamente a partir de las coordenadas geográficas:

${\ Displaystyle \ cos (\ omega) = \ cos (\ varphi) \ cdot \ cos (\ varphi ') \ cdot \ cos (\ lambda - \ lambda') + \ sin (\ varphi) \ cdot \ sin (\ varphi ') \ qquad \ Rightarrow \ omega = \ arccos \, (\ dots)}$

La línea recta que busca es la longitud del arco y el ángulo de apertura en radianes multiplicado por el radio de la tierra: ${\ Displaystyle L}$

${\ Displaystyle L = \ omega \ cdot R}$

De la misma forma, se puede calcular la distancia aparente en radianes entre dos estrellas con una declinación y ascensión recta determinadas.

enlaces web

Wikcionario: beeline  - explicaciones de significados, orígenes de palabras, sinónimos, traducciones

• Cálculo interactivo de la distancia en línea recta entre dos ubicaciones con visualización del gran arco del círculo en un mapa:
  • luftlinie.org (Stephan Georg)
  • Distancia (Martin Kompf)

Evidencia individual

1. ↑ Distancia Nueva-York → Berlín (luftlinie.org)
2. ↑ Definición en el Duden
3. ↑ ^{a b} Cálculo de distancias en Kompf.de