Comparación (números)

El orden de los números reales está ilustrado por la recta numérica . A la derecha los números se hacen más grandes, a la izquierda se hacen más pequeños.

En matemáticas , los números de ciertos rangos de números , como números naturales , enteros , racionales o reales , se pueden comparar de forma fija . Los símbolos de comparación se utilizan para esto en fórmulas matemáticas . Uno escribe algo como:

• ${\ Displaystyle x <y}$: El número es menor que el número , p. Ej. B. la desigualdad se mantiene .${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle y}$ ${\ Displaystyle 1 <2}$
• ${\ Displaystyle x> y}$: El número es mayor que el número , p. Ej. B. aplica .${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle y}$${\ Displaystyle 2> 1}$
• ${\ Displaystyle x \ leq y}$: El número es menor o igual , p. Ej. B. aplica y .${\ Displaystyle x}$ ${\ Displaystyle y}$${\ Displaystyle 1 \ leq 1}$${\ Displaystyle 1 \ leq 2}$
• ${\ Displaystyle x \ geq y}$: El número es mayor o igual , p. Ej. B. aplicar y .${\ Displaystyle x}$ ${\ Displaystyle y}$${\ Displaystyle 1 \ geq 1}$${\ Displaystyle 2 \ geq 1}$

Estas comparaciones respectivas dan a esos rangos de números una estructura de orden . La igualdad o desigualdad de números también se puede ver independientemente de este orden, consulte Identidad e igualdad .

Diferentes comparaciones

Los criterios enunciados hay cuatro independientes relaciones : Cada uno de ellos se puede expresar a través de uno al otro, por lo que se justifica a pesar de las diversas comparaciones de la orden de los números reales, naturales, etc. para tomar la palabra. Por ejemplo, las otras comparaciones se pueden expresar usando la relación de la siguiente manera : ${\ Displaystyle <}$

• ${\ Displaystyle x \ leq y}$aplica si y solo si no aplica.${\ Displaystyle y <x}$
• ${\ Displaystyle x> y}$aplica si y solo si aplica.${\ Displaystyle y <x}$
• ${\ Displaystyle x \ geq y}$aplica si y solo si no aplica.${\ Displaystyle x <y}$

La igualdad y la desigualdad también se definen claramente en cada una de las cuatro comparaciones, pero las comparaciones no pueden expresarse únicamente en términos de igualdad o desigualdad. Por ejemplo:

• ${\ Displaystyle x = y}$si y solo si ninguno todavía se aplica.${\ Displaystyle x <y}$${\ Displaystyle y <x}$
• ${\ Displaystyle x \ neq y}$aplica si y solo si aplica o aplica.${\ Displaystyle x <y}$${\ Displaystyle y <x}$

definición

En la recta numérica, los números más grandes están a la derecha.

Sobre los números naturales, la comparación se puede definir utilizando la función sucesora como la relación mínima que cumple las siguientes propiedades: ${\ Displaystyle \ leq}$ ${\ Displaystyle a \ mapsto a + 1}$

• Es así es .${\ Displaystyle a = b}$${\ Displaystyle a \ leq b}$
• Es el sucesor de y también lo es .${\ Displaystyle c}$${\ Displaystyle b}$${\ Displaystyle a \ leq b}$${\ Displaystyle a \ leq c}$

En otras palabras, es si y no mayor que si de mediante la función sucesora alcanzable es. ${\ Displaystyle a}$${\ Displaystyle b}$${\ Displaystyle b}$${\ Displaystyle a}$

En el modelo de números naturales de von Neumann se define como (es decir, el conjunto es un elemento de ) y por (es decir, es un subconjunto de ). ${\ Displaystyle a <b}$${\ Displaystyle a \ in b}$ ${\ Displaystyle a}$${\ Displaystyle b}$${\ Displaystyle a \ leq b}$${\ Displaystyle a \ subseteq b}$${\ Displaystyle a}$${\ Displaystyle b}$

La siguiente definición de es posible para números enteros : ${\ Displaystyle a \ leq b}$

• Son y ambos no negativos, verdaderos si y solo si se aplica para y los números naturales se interpretan como.${\ Displaystyle a}$${\ Displaystyle b}$${\ Displaystyle a \ leq b}$${\ Displaystyle a \ leq b}$${\ Displaystyle a}$${\ Displaystyle b}$
• Es negativo y no es así .${\ Displaystyle a}$${\ Displaystyle b}$${\ Displaystyle a \ leq b}$
• Es negativo y no, no lo es .${\ Displaystyle b}$${\ Displaystyle a}$${\ Displaystyle a \ leq b}$
• Si y son ambos negativos, entonces si y solo se aplica.${\ Displaystyle a}$${\ Displaystyle b}$${\ Displaystyle a \ leq b}$${\ Displaystyle -b \ leq -a}$

Los números racionales se pueden representar como una fracción . Entonces, dejemos que dos números racionales se den por fracciones y (sean números enteros y números naturales positivos). Entonces está definido por . ${\ Displaystyle \ textstyle {\ frac {a_ {0}} {a_ {1}}}}$${\ Displaystyle \ textstyle {\ frac {b_ {0}} {b_ {1}}}}$${\ Displaystyle a_ {0}, b_ {0}}$${\ Displaystyle a_ {1}, b_ {1}}$${\ Displaystyle \ textstyle {\ frac {a_ {0}} {a_ {1}}} \ leq \ textstyle {\ frac {b_ {0}} {b_ {1}}}}$${\ Displaystyle a_ {0} \ cdot b_ {1} \ leq b_ {0} \ cdot a_ {1}}$

En términos de la teoría del orden, los números reales se pueden definir como cortes de Dedekind de números racionales. Si , subconjuntos de los números racionales, subconjuntos de los números reales (es decir, o es el conjunto de todos los números racionales más pequeños que o ), entonces si y solo si un subconjunto de es. ${\ Displaystyle \ alpha, \ beta}$${\ Displaystyle a, b}$${\ Displaystyle \ alpha}$${\ Displaystyle \ beta}$${\ Displaystyle a}$${\ Displaystyle b}$${\ Displaystyle a \ leq b}$${\ Displaystyle \ alpha}$ ${\ Displaystyle \ beta}$

Los números reales pueden ser tan sucesiones de Cauchy de números racionales representan . Sean y sean secuencias de Cauchy racionales que representan los números reales y respectivamente. Entonces se aplica si y solo si (es decir, la equivalencia de las dos secuencias de Cauchy) o se aplica a todos menos a un número finito . ${\ Displaystyle (a_ {n})}$${\ Displaystyle (b_ {n})}$${\ Displaystyle a}$${\ Displaystyle b}$${\ Displaystyle a \ leq b}$${\ Displaystyle a = b}$${\ Displaystyle n \ in \ mathbb {N}}$ ${\ Displaystyle a_ {n} \ leq b_ {n}}$

Propiedades organizativas comunes

Para números con y también se aplica siempre . Esta propiedad se llama transitividad de . Además, siempre se aplica o o . Esta propiedad se llama tricotomía . Sobre la base de estas dos propiedades del orden en dichos rangos de números, uno abstrae en matemáticas y llama a cada relación de objetos matemáticos que cumple estas dos propiedades un estricto orden total . En este sentido también existe un estricto orden total. La irreflexibilidad también se deriva de estas propiedades : No se aplica ningún número del rango de números respectivo . La asimetría también sigue : si se aplica , entonces no se aplica. ${\ Displaystyle x, y, z}$${\ Displaystyle x <y}$${\ Displaystyle y <z}$${\ Displaystyle x <z}$${\ Displaystyle <}$${\ Displaystyle x <y}$${\ Displaystyle y <x}$${\ Displaystyle x = y}$${\ Displaystyle>}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle x <x}$${\ Displaystyle x <y}$${\ Displaystyle y <x}$

La transitividad también se aplica a: Si y , entonces también se aplica siempre . Otra propiedad es la reflexividad : lo siguiente se aplica a cualquier número del rango de números respectivo . La relación es antisimétrica : porque no se puede mantener al mismo tiempo y . La propiedad que al menos o se mantiene para cada dos números se llama totalidad. Nuevamente abstrayendo, toda relación que cumple estas propiedades se llama orden total . Estas propiedades se aplican de manera análoga a , que por lo tanto también forma un orden total. ${\ Displaystyle \ leq}$${\ Displaystyle x \ leq y}$${\ Displaystyle y \ leq z}$${\ Displaystyle x \ leq z}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle x \ leq x}$${\ Displaystyle \ leq}$${\ Displaystyle x \ neq y}$${\ Displaystyle x \ leq y}$${\ Displaystyle y \ leq x}$${\ Displaystyle x, y}$${\ Displaystyle x \ leq y}$${\ Displaystyle y \ leq x}$${\ Displaystyle \ geq}$

Compatibilidad con la estructura aritmética.

De sigue${\ Displaystyle x <y}$${\ Displaystyle x + a <y + a}$

El orden de los números naturales, reales, etc. es compatible con la suma : si y es cualquiera de esos números, entonces también se aplica . Inversamente, se sigue de también y así . Si la resta está definida (que no es el caso de los números naturales, sino del total , los racionales y los números reales), entonces si y solo si . Analógico exactamente cuando . Por tanto, la comparación entre y está determinada por si la diferencia es positiva o negativa . ${\ Displaystyle x <y}$${\ Displaystyle a}$${\ Displaystyle x + a <y + a}$${\ Displaystyle x + a <y + a}$${\ Displaystyle x + a + (- a) <y + a + (- a)}$${\ Displaystyle x <y}$${\ Displaystyle x <y}$${\ Displaystyle yx> 0}$${\ Displaystyle x> y}$${\ Displaystyle yx <0}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle y}$

La formación del aditivo inverso , es decir H. el mapeo que asigna el número a cada número (geométricamente hablando, un reflejo ), por otro lado, no es compatible con el orden. Más bien, se aplica precisamente cuando . ${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle -x}$${\ Displaystyle x <y}$${\ Displaystyle -x> -y}$

En el caso de la multiplicación, es necesaria una distinción: la compatibilidad se aplica de forma completamente análoga a la multiplicación con un número positivo. Una multiplicación de dos caras con cero, por otro lado, siempre conduce a la igualdad: para cualquier número . Para y , por lo tanto, existe al menos una compatibilidad con la multiplicación de números no negativos: si y si no es negativo, entonces también se aplica . Sin embargo, lo contrario no se sigue necesariamente de esta desigualdad . La multiplicación por un número negativo, por otro lado, se puede expresar como la reflexión anterior seguida de la multiplicación por un número positivo (p . Ej .). Por lo tanto, la desigualdad es válida para dos números con y negativo . ${\ Displaystyle x \ cdot 0 = y \ cdot 0}$${\ Displaystyle x, y}$${\ Displaystyle \ leq}$${\ Displaystyle \ geq}$${\ Displaystyle x \ leq y}$${\ Displaystyle a}$${\ Displaystyle x \ cdot a \ leq y \ cdot a}$${\ Displaystyle x \ leq y}$${\ Displaystyle x \ cdot (-2) = x \ cdot (-1) \ cdot 2 = (- x) \ cdot 2}$${\ Displaystyle x, y}$${\ Displaystyle x <y}$${\ Displaystyle a}$${\ Displaystyle x \ cdot a> y \ cdot a}$

Para la abstracción matemática de estas propiedades de compatibilidad, consulte cuerpo ordenado .

Propiedades especiales de los respectivos pedidos

Los órdenes presentados aquí sobre los números naturales, totales, racionales y reales tienen ciertas propiedades que son independientes de la estructura aritmética, pero no se aplican a ningún orden total.

El orden de los números naturales tiene un mínimo , el número (también en algunas definiciones , aquí por simplicidad, siempre está contenido en los números naturales). Todo número natural tiene un sucesor ; H. un número mínimo mayor que . Este es solo el número . ${\ Displaystyle \ mathbb {N}}$${\ displaystyle 0}$${\ Displaystyle 1}$${\ displaystyle 0}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle y}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle x + 1}$

• El orden de es discreto .${\ Displaystyle \ mathbb {N}}$
• Los números naturales son ilimitados (hacia arriba) ; no hay un número natural máximo.
• Es el único número natural que no tiene predecesor.${\ displaystyle 0}$
• Los números naturales están bien ordenados ; H. cada subconjunto no vacío de los números naturales tiene un mínimo.

Los números enteros también forman un orden discreto. En ellos cada elemento tiene un predecesor y un sucesor . Tampoco hay un elemento máximo, pero tampoco un mínimo. Por lo tanto, ya no están bien ordenados. ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle x-1}$${\ Displaystyle x + 1}$

Los números racionales no forman un orden discreto: en los números racionales ningún número tiene un predecesor o un sucesor, hay mucho más entre cada dos números racionales (al menos) un tercer número racional, por ejemplo, con . Los números racionales forman así un orden denso . ${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ Displaystyle x <z}$${\ Displaystyle y: = {\ tfrac {x + z} {2}},}$${\ Displaystyle x <y <z}$

Los números reales también forman un orden denso. Una propiedad adicional importante es la propiedad suprema o la completitud del pedido : cada subconjunto limitado tiene un supremo y un mínimo , es decir H. un límite superior más pequeño o un límite inferior más grande. Los números naturales se encuentran confinalmente en los números racionales e incluso reales, es decir, Es decir, para cada número real hay un número natural que es al menos igual de grande. Por tanto, el orden de los números reales tiene conectividad contable . Cada uno de los órdenes induce una topología de orden . Sobre. Según la topología de orden de los números reales, los números racionales se encuentran cerca de los números reales.

cálculo

Usando sistemas de valor posicional , los números naturales se pueden representar como secuencias de dígitos . Usando tales representaciones, se pueden comparar dos números naturales, i. Es decir, se puede calcular si el número representado por una secuencia de dígitos es menor que el otro. Dos números naturales y por sus respectivas cadenas de dígitos sin ceros iniciales agregados a un sistema de prioridad, si y solo si ${\ Displaystyle a}$${\ Displaystyle b}$${\ Displaystyle a <b}$

• la secuencia de dígitos es demasiado corta que la de o${\ Displaystyle a}$${\ Displaystyle b}$
• ambos tienen la misma longitud y la secuencia de dígitos es demasiado lexicográficamente menor que zu .${\ Displaystyle a}$ ${\ Displaystyle b}$

La comparación lexicográfica se basa en la comparación de números de un solo dígito. Utilizando sistemas de valor posicional, los números naturales también se muestran en las computadoras digitales modernas , según los cuales son posibles las comparaciones. Los números con los que las unidades aritmético-lógicas de tales computadoras pueden tratar directamente tienen tamaños fijos , es decir, contienen ceros a la izquierda, de modo que es posible una comparación según el orden lexicográfico. Usando la definición anterior del orden, también se pueden calcular las comparaciones de cualquier número entero o racional. Al representar números racionales en notación científica , se pueden comparar dos números comparando primero el exponente y luego, si el exponente es el mismo para ambos, la mantisa . Esto se aplica en particular a los números de coma flotante que representan fracciones diádicas , que a menudo se utilizan en computadoras digitales para  cálculos, especialmente aproximados . Muchos procesadores ( por ejemplo, los basados ​​en x86 ) proporcionan sus propias instrucciones para comparar números enteros y de coma flotante .

Dado que los números reales forman un conjunto incontable , no existe un esquema según el cual se puedan representar todos los números reales. Por tanto, la cuestión de una regla general de cálculo para la comparación también es superflua . Un enfoque básico importante es representar ciertos números reales usando reglas de cálculo que pueden calcular cualquier límite superior e inferior preciso para el número en forma de números racionales, por ejemplo, calculando gradualmente más posiciones decimales . Esto conduce al concepto de número calculable . Se pueden comparar dos números calculables diferentes calculando límites superior e inferior cada vez más precisos para ambos hasta que los dos intervalos se separen entre sí (consulte la aritmética de intervalos ). Por el contrario, la igualdad de dos números mostrados de esta manera no se puede calcular , por lo que las otras comparaciones no se pueden calcular para números posiblemente idénticos. Para muchas aplicaciones, es suficiente, por ejemplo, en análisis numérico , permitir una tolerancia, i. H. la comparación se realiza correctamente siempre que la distancia entre los dos números sea mayor que una tolerancia fija que se puede seleccionar tan pequeña como se desee, de lo contrario los números se consideran iguales. Esta comparación se puede calcular para números calculables generales. En casos especiales importantes, sin embargo, también es posible una comparación exacta: los números algebraicos se pueden representar por polinomios con coeficientes enteros cuyo cero son, y un intervalo con un mínimo y un máximo racionales que define el cero respectivo. De forma algebraica, ahora se puede determinar para dos números representados de esta manera si son iguales determinando ceros comunes. Estos están determinados con precisión por el máximo común divisor de los dos polinomios. En el caso de la desigualdad, la comparación se puede realizar nuevamente utilizando los límites superior e inferior. Estos también permiten prescindir del cálculo algebraico si la desigualdad ya ha sido probada por límites calculados. Suponiendo que se aplique la conjetura previamente no probada de Schanuel , también se construyó un algoritmo que calcula comparaciones también para números que se dan como ceros de sistemas de ecuaciones que pueden contener funciones elementales . Para los números algebraicos que se dan como expresiones de raíz cuadrada o como ceros de polinomios de bajo grado , existen métodos especiales de comparación.

Tales métodos para comparaciones exactas encuentran uso en sistemas de álgebra computarizada y geometría algorítmica .

Relación con la aritmética

En números naturales, el orden se puede utilizar para definir como elemento mínimo. En consecuencia , es posible una definición de la función de sucesor , es decir, el sucesor de cada número. Mediante Sukzessorfunktion se pueden definir de forma recursiva las operaciones aritméticas como la suma y la multiplicación. En total, números racionales y reales, sin embargo ningún elemento se distingue por el orden, por lo que las operaciones aritméticas (que como siempre como elemento neutro distinguirían la suma) no pueden ser definidas por el orden. ${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle 0}$

Sin embargo, a la inversa, en todos estos casos el orden se puede definir mediante aritmética. En el caso de los números naturales, una definición elemental es posible únicamente por medio de la suma (es decir, en la aritmética de Presburger ): se aplica si y solo si existe con . En conjunto, los números racionales y reales, no es posible una definición inequívoca por medio de la adición sola, porque el mapeo en el rango de números respectivo es un automorfismo de grupo en el grupo aditivo respectivo, que, sin embargo, no es compatible con el orden. Con la suma de la multiplicación, i. H. en la estructura de anillo respectiva , por otro lado, también es posible una definición elemental del orden. Esto es particularmente fácil en los números reales y más en general en todos los campos euclidianos : porque allí los números no negativos se caracterizan precisamente por el hecho de que tienen una raíz cuadrada . Esto da la siguiente definición: ${\ Displaystyle x \ leq y}$${\ Displaystyle a \ in \ mathbb {N}}$${\ Displaystyle x + a = y}$${\ Displaystyle x \ mapsto -x}$

${\ Displaystyle x \ leq y: \ Leftrightarrow \ existe a: x + a \ cdot a = y}$

Es posible una definición correspondiente en los números enteros usando el teorema de los cuatro cuadrados : Un número entero no es negativo si y solo si se puede representar como la suma de cuatro números cuadrados . Esto proporciona la definición

${\ Displaystyle x \ leq y: \ Leftrightarrow \ existe a, b, c, d: x + a \ cdot a + b \ cdot b + c \ cdot c + d \ cdot d = y}$,

que se puede transferir a los números racionales (un número racional no es negativo si y solo si es el cociente de dos sumas de cuatro números cuadrados).

Extensiones

• Los números reales pueden ser los números hiperrealistas expandidos , que también tienen un sentido amistoso con el orden de suma y multiplicación, pero nuevamente tienen otras propiedades teóricas propias.
• Los números naturales se pueden expandir a números cardinales y ordinales , que todavía están bien ordenados.
• Los números surrealistas forman otro rango de números proporcionado con un pedido.

Ver también

• Operador de comparación

Evidencia individual

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