Número infinitesimal

En matemáticas , un número infinitesimal positivo es un objeto que, con respecto al orden de los números reales, es mayor que cero , pero menor que cualquier número real positivo, por pequeño que sea.

caracteristicas

Obviamente no hay infinitesimales entre los números reales que cumplan con este requisito, porque tal infinito tendría que cumplir la condición , ya que también hay un número real positivo. Para poder definir tales infinitesimales , el requisito anterior debe debilitarse o los números reales deben incluirse en un campo ordenado más grande , en el que haya espacio para tales elementos adicionales. Esta última es la forma en que se definen los infinitesimales algebraicos (Coste, Roy, Pollack), y también la forma del análisis no estándar (NSA) (Robinson, Nelson). ${\ Displaystyle x \ in \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle 0 <x <{\ tfrac {x} {2}}}$${\ Displaystyle {\ tfrac {x} {2}}}$

Un infinitesimal tiene la propiedad de que cualquier suma de un número finito (en la NSA: número finito estándar) de la cantidad de este número es menor que 1: ${\ Displaystyle x \ neq 0}$

${\ Displaystyle | x | + \ dotsb + | x | <1}$ para cualquier número finito de sumandos.

En este caso es mayor que cualquier número real positivo (en la NSA: real estándar). Para los infinitesimales algebraicos, esto significa que la extensión de campo asociada no es de Arquímedes . ${\ Displaystyle | 1 / x |}$

cálculo

El primer matemático en utilizar tales números fue posiblemente Arquímedes , aunque no creía en su existencia .

Newton y Leibniz utilizan los números infinitesimales para desarrollar su cálculo de cálculo infinitesimal ( cálculo diferencial e integral).

Por lo general, argumentaron (en realidad solo Newton, Leibniz usa mónadas , hoy aproximadamente: series de potencia terminadas o formales ):

Para encontrar la derivada de la función , asumimos que es infinitesimal. Entonces ${\ Displaystyle f '(x)}$${\ Displaystyle f \ colon \ mathbb {R} \ ni x \ mapsto x ^ {2} \ in \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathrm {d} x}$

${\ Displaystyle f '(x) = {\ frac {f (x + \ mathrm {d} x) -f (x)} {\ mathrm {d} x}} = {\ frac {x ^ {2} + 2x \ cdot \ mathrm {d} x + \ left (\ mathrm {d} x \ right) ^ {2} -x ^ {2}} {\ mathrm {d} x}} = 2x + \ mathrm {d} x = 2x,}$

porque es infinitesimalmente pequeño. ${\ Displaystyle \ mathrm {d} x}$

Aunque este argumento es intuitivo y da resultados correctos, no es matemáticamente exacto: el problema básico es que inicialmente se considera distinto de cero (uno divide por ), pero en el último paso se considera igual a cero. El uso de números infinitesimales fue criticado por George Berkeley en su obra: El analista: o un discurso dirigido a un matemático infiel (1734).${\ Displaystyle \ mathrm {d} x}$${\ Displaystyle \ mathrm {d} x}$

Avance histórico

Desde entonces, la cuestión de los infinitesimales ha estado estrechamente vinculada a la cuestión de la naturaleza de los números reales. No fue hasta el siglo XIX que Augustin Louis Cauchy , Karl Weierstrass , Richard Dedekind y otros dieron al análisis real una forma formal matemáticamente estricta. Introdujeron consideraciones de valor límite que hacían superfluo el uso de cantidades infinitesimales.

Aun así, el uso de números infinitesimales todavía se consideraba útil para simplificar representaciones y cálculos. Por lo tanto, si la propiedad denota ser infinitesimal y, en consecuencia, la propiedad de ser infinito , se puede definir: ${\ Displaystyle x \ approx 0}$${\ Displaystyle N \ approx \ infty}$

• Un resultado (estándar) es una secuencia nula si para todo aplica: .${\ Displaystyle (a_ {n})}$${\ Displaystyle N \ approx \ infty}$${\ Displaystyle a_ {N} \ approx 0}$
• Una función (estándar) en un intervalo acotado es uniformemente continua si y sólo si para todo , que se aplica a partir de la siguiente: .${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle I}$${\ Displaystyle x, y \ en I}$${\ Displaystyle xy \ approx 0}$${\ Displaystyle f (x) -f (y) \ approx 0}$

En el siglo XX, se encontraron extensiones de rango numérico de números reales que contienen números infinitesimales en una forma formalmente correcta. Los más conocidos son los números hiperrealistas y los números surrealistas .

En el análisis no estándar de Abraham Robinson (1960), que contiene los números hiperrealistas como un caso especial, los números infinitesimales son cantidades legítimas. En este análisis, la derivación de arriba mencionada se puede justificar con una ligera modificación: estamos hablando de la parte estándar del cociente diferencial y la parte estándar de es (si es un número estándar; más detalles en el artículo vinculado). ${\ Displaystyle f \ colon \ mathbb {R} \ ni x \ mapsto x ^ {2} \ in \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle 2x + \ mathrm {d} x}$${\ Displaystyle 2x}$${\ Displaystyle x}$

hinchar

1. ↑ El texto completo se puede encontrar (recién configurado) como descarga [1]