Secuencia geométrica

Una secuencia geométrica es una secuencia matemática regular de números con la propiedad de que el cociente de dos miembros de secuencia vecinos es constante.

Origen del nombre

El término "secuencia geométrica" ​​se deriva de la media geométrica . Cada miembro de una secuencia geométrica es a saber, la media geométrica de sus miembros vecinos.

La suma de los siguientes términos da la serie geométrica .

Formulación matemática

El -ésimo miembro de una secuencia geométrica con el cociente se calcula a partir de la fórmula${\ Displaystyle i}$${\ Displaystyle a_ {i}}$${\ Displaystyle q}$

${\ Displaystyle a_ {i} = a_ {1} \ cdot q ^ {i-1}}$,

si el término inicial está marcado con, o ${\ Displaystyle a_ {1}}$

${\ Displaystyle a_ {i} = a_ {0} \ cdot q ^ {i}}$,

si el término inicial está indicado por. ${\ Displaystyle a_ {0}}$

Los términos de una secuencia geométrica también se pueden calcular a partir del término anterior utilizando la siguiente fórmula recursiva :

${\ Displaystyle a_ {i + 1} = a_ {i} \ cdot q}$

Nota : Cada secuencia geométrica se puede describir con una regla de función de este tipo, pero dicha regla de función no siempre describe una secuencia geométrica. El primer término de una secuencia geométrica no puede ser así, porque debido a la prohibición de división por , el cociente de los dos primeros términos de la secuencia no existe para . Así, las secuencias finitas (de dos miembros existentes) con las únicas secuencias geométricas en las que el número aparece como miembro de resultado o para las que el número es el mismo. En particular, no hay secuencias geométricas infinitas con o con . ${\ Displaystyle a_ {0}}$${\ displaystyle {\ tfrac {a_ {1}} {a_ {0}}}}$${\ Displaystyle a_ {0} = 0}$${\ Displaystyle (a_ {0}, 0)}$${\ Displaystyle a_ {0} \ neq 0}$${\ Displaystyle q}$${\ Displaystyle a_ {i} = 0}$${\ Displaystyle q = 0}$

Ejemplos numéricos

Ejemplo 1

Los términos de la secuencia geométrica con el término inicial y el cociente son: ${\ Displaystyle a_ {0} = 5}$${\ Displaystyle q = 3}$

${\ Displaystyle a_ {0} = 5, \ a_ {1} = 15, \ a_ {2} = 45, \ a_ {3} = 135, \ \ dotsc}$

Si escribe los enlaces uno tras otro, obtendrá:

${\ Displaystyle 5, \ 15, \ 45, \ 135, \ 405, \ 1215, \ 3645, \ 10935, \ 32805, \ \ dotsc}$

Ejemplo 2

Los términos de la secuencia geométrica con el término inicial y el cociente son: ${\ Displaystyle a_ {0} = 1}$${\ Displaystyle q = - {\ tfrac {1} {2}}}$

${\ Displaystyle a_ {0} = 1, \ a_ {1} = - {\ frac {1} {2}}, \ a_ {2} = {\ frac {1} {4}}, \ a_ {3} = - {\ frac {1} {8}}, \ \ dotsc}$

Si escribe los enlaces uno tras otro, obtendrá:

${\ Displaystyle +1, \ - {\ frac {1} {2}}, \ + {\ frac {1} {4}}, \ - {\ frac {1} {8}}, \ + {\ frac {1} {16}}, \ - {\ frac {1} {32}}, \ + {\ frac {1} {64}}, \ - {\ frac {1} {128}}, \ + { \ frac {1} {256}}, \ \ dotsc}$

Ejemplos de aplicación

La secuencia geométrica describe los procesos de crecimiento en los que la variable medida en un momento dado resulta de la variable medida en un momento dado multiplicándola por un factor constante . Ejemplos: ${\ Displaystyle n + 1}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle q}$

interés compuesto

Con una tasa de interés del 5 por ciento , el capital aumenta cada año en un factor de 1.05. Entonces es una secuencia geométrica con la razón . El número aquí se llama factor de interés . Con un capital inicial de 1000 euros esto resulta ${\ Displaystyle q = 1 {,} 05}$${\ Displaystyle q}$

• después de un año un capital de

${\ Displaystyle 1000 \, {\ text {Euro}} \ cdot 1 {,} 05 = 1050 \, {\ text {Euro}},}$

• después de dos años un capital de

${\ Displaystyle 1000 \, {\ text {Euro}} \ cdot 1 {,} 05 ^ {2} = 1102 {,} 50 \, {\ text {Euro}},}$

• capital después de tres años

${\ Displaystyle 1000 \, {\ text {Euro}} \ cdot 1 {,} 05 ^ {3} = 1157 {,} 63 \, {\ text {Euro}}}$

Etcétera.

Igualdad de humor

Hay varias formas de afinar un instrumento musical. Uno de ellos es el estado de ánimo igualitario . Con él, la relación de frecuencia entre dos tonos adyacentes es siempre constante. Si hay doce notas en la octava, la secuencia aquí es:

${\ Displaystyle f (i) = a_ {0} \ cdot \ left ({\ sqrt [{12}] {2}} \ right) ^ {i}}$,

donde, por ejemplo, es la frecuencia del tono del concierto y la distancia del paso de semitono al tono del concierto. es entonces la frecuencia del tono buscado con un espaciado de semitono del " tono original" . ${\ Displaystyle a_ {0}}$${\ Displaystyle i}$${\ Displaystyle f (i)}$${\ Displaystyle i}$${\ Displaystyle a_ {0}}$

Entonces el factor de crecimiento es . ${\ Displaystyle q = {\ sqrt [{12}] {2}}}$

Convergencia de secuencias geométricas

Una secuencia geométrica infinita es una secuencia de cero si y sólo si el valor absoluto de la verdadera (o complejo ) cociente de elementos sucesores adyacentes es menor que 1. ${\ Displaystyle (a_ {i})}$ ${\ Displaystyle | q |}$${\ Displaystyle q = {\ tfrac {a_ {i + 1}} {a_ {i}}}}$

A. Aserción: es al menos una secuencia nula si lo es. ${\ Displaystyle (a_ {i})}$${\ Displaystyle | q | <1}$

Prueba: se entregue. Reivindicación de la existencia de una con la propiedad de que para todo se aplica lo siguiente: .${\ Displaystyle \ varepsilon> 0}$${\ Displaystyle i_ {0}}$${\ Displaystyle i> i_ {0}}$${\ Displaystyle | a_ {i} | <\ varepsilon}$${\ Displaystyle \ mathbf {(1)}}$

Porque y existe ${\ Displaystyle 0 <| q | <1}$${\ displaystyle {\ tfrac {\ varepsilon} {| a_ {0} |}}> 0}$

${\ Displaystyle i_ {0} =: {\ frac {\ ln \ left ({\ frac {\ varepsilon} {| a_ {0} |}} \ right)} {\ ln (| q |)}}}$.

¿Dónde está el logaritmo natural ? ${\ Displaystyle \ ln}$

Porque , después de multiplicar con, el signo de desigualdad se invierte para todos : ${\ Displaystyle | q | <1 \ Rightarrow \ ln (| q |) <0}$${\ Displaystyle i> i_ {0}}$${\ Displaystyle \ ln (| q |)}$

${\ Displaystyle i \ cdot \ ln | q | <i_ {0} \ cdot \ ln | q | = \ ln \ left ({\ frac {\ varepsilon} {| a_ {0} |}} \ right)}$;

porque es ; La exponenciación (a la base ) no cambia el signo de desigualdad: ${\ Displaystyle i \ in \ mathbb {N}}$${\ Displaystyle i \ cdot \ ln | q | = \ ln \ left (| q | ^ {i} \ right) = \ ln \ left (\ left | q ^ {i} \ right | \ right)}$${\ Displaystyle e}$

${\ Displaystyle \ left | q ^ {i} \ right | <{\ frac {\ varepsilon} {| a_ {0} |}}}$;

Debido a esto , el signo de desigualdad permanece sin cambios después de la multiplicación con el denominador; con : ${\ Displaystyle | a_ {0} |> 0}$${\ Displaystyle | a_ {0} | \ cdot \ left | q ^ {i} \ right | = \ left | a_ {0} \ cdot q ^ {i} \ right |}$

${\ Displaystyle \ left | a_ {0} \ cdot q ^ {i} \ right | <\ varepsilon}$; así (1), q. mi. D.

B. Afirmación: es como máximo una secuencia nula si lo es. no es una secuencia nula si es. ${\ Displaystyle (a_ {i})}$${\ Displaystyle | q | <1}$${\ Displaystyle \ Leftrightarrow}$ ${\ Displaystyle (a_ {i})}$${\ Displaystyle | q | \ geq 1}$

Prueba es (ya) a continuación, ninguna secuencia cero cuando A se puede seleccionar de tal manera que para todos aplica lo siguiente: . ${\ Displaystyle (a_ {i})}$${\ Displaystyle \ varepsilon> 0}$${\ Displaystyle a_ {i}}$${\ Displaystyle | a_ {i} | \ geq \ varepsilon}$

Multiplicación de la condición con resultados (porque no hay inversión del signo de desigualdad): ${\ Displaystyle | q | \ geq 1}$${\ Displaystyle \ left | a_ {0} \ cdot q ^ {i} \ right |}$${\ Displaystyle \ left | a_ {0} \ cdot q ^ {i} \ right |> 0}$

${\ Displaystyle \ left | a_ {0} \ cdot q ^ {i + 1} \ right | \ geq \ left | a_ {0} \ cdot q ^ {i} \ right |}$, con el fin de:

${\ Displaystyle | a_ {i + 1} | \ geq | a_ {i} |}$. .${\ Displaystyle \ mathbf {(2)}}$

Se elige uno con . Con (2) entonces se aplica a todos : q. mi. D. ${\ Displaystyle \ varepsilon}$${\ Displaystyle | a_ {0} | \ geq \ varepsilon> 0}$${\ Displaystyle i> 0}$${\ Displaystyle | a_ {i} | \ geq \ varepsilon}$

Ver también

• Secuencia aritmética
• Factor de crecimiento (matemáticas)
• proceso exponencial
• Serie E
• Serie Renard

enlaces web

• Explicaciones adecuadas para estudiantes

Bibliografía

1. ↑ Secuencias y series . Consultado el 14 de marzo de 2010.
2. ↑ Eric W. Weisstein: Secuencia geométrica. MathWorld , consultado el 10 de noviembre de 2019 .