Evento (teoría de la probabilidad)

En la teoría de la probabilidad, un evento (también un evento aleatorio ) es parte de un conjunto de resultados de un experimento aleatorio al que se le puede asignar una probabilidad . Por ejemplo, el evento "arrojar un número par" se asigna al subconjunto de la cantidad total de todos los resultados posibles (el espacio de resultados ). Se dice que un evento ocurre cuando contiene el resultado del experimento aleatorio como elemento. ${\ Displaystyle \ {2,4,6 \}}$${\ Displaystyle \ {1,2,3,4,5,6 \}}$

El evento que es idéntico al conjunto de resultados se denomina evento determinado , ya que siempre ocurre. En contraste, el evento idéntico al conjunto vacío se denomina evento imposible : nunca ocurre. En el ejemplo de la tirada del dado, el evento seguro es el set y el evento imposible es el set . ${\ Displaystyle \ Omega}$${\ Displaystyle \ {1,2,3,4,5,6 \}}$${\ Displaystyle \ varnothing}$

definición

Si hay un espacio de probabilidad , se llama a un evento . Los eventos de un espacio de probabilidad son, por lo tanto, aquellos subconjuntos del conjunto de resultados que se encuentran en el σ-álgebra , el llamado sistema de eventos . ${\ Displaystyle (\ Omega, \ Sigma, P)}$${\ Displaystyle A \ in \ Sigma}$ ${\ Displaystyle \ Omega}$ ${\ Displaystyle \ Sigma}$

Los eventos son aquellos conjuntos a los que posteriormente se quiere asignar una probabilidad mediante una medida de probabilidad . En el marco más general de la teoría de la medida , los eventos también se denominan cantidades mensurables . ${\ Displaystyle A \ in \ Sigma}$${\ Displaystyle P (A)}$

Ejemplos

Conjunto de resultados finito

Se da el conjunto de resultados

${\ Displaystyle \ Omega = \ {1,2,3 \}}$,

provisto con el sistema de eventos

${\ Displaystyle \ Sigma: = \ {\ Omega, \ juego vacío, \ {1 \}, \ {2,3 \} \}}$.

Entonces, por ejemplo, los conjuntos y los conjuntos son eventos porque están contenidos en el sistema de eventos. La multitud no es un evento. Aunque es un subconjunto del conjunto de resultados, no está contenido en el sistema de eventos. Dado que el sistema de eventos es un σ-álgebra, el conjunto de resultados y el conjunto vacío son siempre eventos. ${\ Displaystyle \ {1 \}}$${\ Displaystyle \ {2,3 \}}$${\ Displaystyle \ {2 \}}$${\ Displaystyle \ Omega}$${\ Displaystyle \ emptyset}$

Conjunto de resultados discretos

Para conjuntos de resultados discretos arbitrarios , es decir, aquellos con un número infinito contable de elementos como máximo , el conjunto de potencia se utiliza normalmente como sistema de eventos. Entonces, cada subconjunto del conjunto de resultados es un evento, ya que el conjunto de potencia es exactamente el conjunto de todos los subconjuntos. ${\ Displaystyle \ Omega}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {P}} (\ Omega)}$

Conjuntos de resultados reales

Para conjuntos de resultados reales, generalmente se usa el álgebra σ de Borel como sistema de eventos. Aquí, por ejemplo, están todos los intervalos abiertos, es decir, conjuntos de la forma con eventos. De hecho, estos sistemas de conjuntos son tan grandes que casi cualquier cosa que pueda definirse de manera significativa es un evento. Sin embargo, hay sets que no son eventos, como los sets Vitali . ${\ Displaystyle (a, b)}$${\ Displaystyle a <b}$

Establecer operaciones con eventos

Si es el resultado de un experimento aleatorio y un evento, entonces también se dice en el caso : el evento ocurre . ${\ Displaystyle \ omega \ in \ Omega}$${\ Displaystyle A \ in \ Sigma}$${\ Displaystyle \ omega \ in A}$${\ Displaystyle A}$

Subconjuntos e igualdad

Si un evento es un subconjunto de otro evento (indicado como ), entonces el evento siempre ocurre con el evento . Entonces también se dice: el evento conduce al evento . Lo siguiente se aplica a las probabilidades en este caso . Eso significa: si el evento conduce al evento , entonces la probabilidad de es al menos tan grande como la de . ${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle A \ subseteq B}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle P (A) \ leq P (B)}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle A}$

Se aplica exactamente si y se aplica. La igualdad de eventos significa que el evento implica el evento de la misma manera que el evento implica el evento . ${\ Displaystyle A = B}$${\ Displaystyle A \ subseteq B}$${\ Displaystyle B \ subseteq A}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle A}$

Intersección y desunión

La intersección de dos eventos es nuevamente un evento. Ocurre exactamente cuando y ambos ocurren. ${\ Displaystyle A \ cap B}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B}$

Si es cierto, es decir, la ocurrencia conjunta de y es imposible, entonces se dice que los dos eventos son mutuamente excluyentes . Los eventos y luego también se denominan disjuntos o incompatibles . ${\ Displaystyle A \ cap B = \ varnothing}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B}$

Si los eventos son más generales , entonces se hace el corte ${\ Displaystyle A_ {1}, A_ {2}, \ ldots}$

${\ Displaystyle \ bigcap _ {n = 1} ^ {\ infty} A_ {n}}$

el evento que ocurre exactamente cuando todos ocurren. Los eventos se denominan disjuntos por pares si se aplica a todos con . ${\ Displaystyle A_ {n}}$${\ Displaystyle A_ {m} \ cap A_ {n} = \ varnothing}$${\ Displaystyle m, n \ in \ mathbb {N}}$${\ Displaystyle m \ neq n}$

Unión

La unión de dos eventos también es un evento. Ocurre exactamente cuando cualquiera o o se producen ambos eventos. En otras palabras: ocurre cuando al menos uno de los dos eventos u ocurre. ${\ Displaystyle A \ cup B}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle A \ cup B}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B}$

La fórmula siempre se aplica a la probabilidad de intersección y unión.

${\ Displaystyle P (A \ cap B) + P (A \ cup B) = P (A) + P (B) \,.}$

Especial es en el caso de eventos inconexos . ${\ Displaystyle P (A \ cup B) = P (A) + P (B)}$

Si son eventos más generales , entonces la unión ${\ Displaystyle A_ {1}, A_ {2}, \ ldots}$

${\ Displaystyle \ bigcup _ {n = 1} ^ {\ infty} A_ {n}}$

el evento que ocurre exactamente cuando ocurre al menos uno de los . ${\ Displaystyle A_ {n}}$

La llamada σ-subaditividad siempre se aplica

${\ Displaystyle P \ left (\ bigcup _ {n = 1} ^ {\ infty} A_ {n} \ right) \ leq \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} P (A_ {n}) \ ,.}$

En el caso de eventos disjuntos por pares, aquí se aplica la igualdad.

La fórmula de tamizado es válida para la probabilidad de asociaciones arbitrarias de un número finito de eventos .

Sistema de eventos completo

Una familia de eventos que son disjuntos por pares y cuya unión da como resultado un sistema completo también se denomina sistema de eventos completo o descomposición disjunta de (en general: una partición de ). En este caso, para cada resultado del experimento aleatorio ocurre exactamente uno de los eventos de la descomposición disjunta. ${\ Displaystyle \ Omega}$${\ Displaystyle \ Omega}$${\ Displaystyle \ Omega}$

Complemento y diferencia

El evento complementario ocurre exactamente cuando el evento no ocurre. También se denomina contraevento y se designa con (alternativamente también con ). Su probabilidad es ${\ Displaystyle \ Omega \ setminus A}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle {\ overline {A}}}$${\ Displaystyle A ^ {\ mathsf {c}}}$

${\ Displaystyle P ({\ overline {A}}) = 1-P (A) \,.}$

Las fórmulas de De Morgan se aplican a los complementos de conjuntos de intersección y unión

${\ Displaystyle {\ overline {\ bigcap _ {n = 1} ^ {\ infty} A_ {n}}} = \ bigcup _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ overline {A_ {n}}} \ ,,}$

${\ Displaystyle {\ overline {\ bigcup _ {n = 1} ^ {\ infty} A_ {n}}} = \ bigcap _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ overline {A_ {n}}} \,.}$

Lo mismo se aplica a dos eventos así . ${\ Displaystyle {\ overline {A \ cap B}} = {\ overline {A}} \ cup {\ overline {B}}}$${\ Displaystyle {\ overline {A \ cup B}} = {\ overline {A}} \ cap {\ overline {B}}}$

El conjunto de diferencias es el evento que ocurre exactamente cuando ocurre el evento , pero no al mismo tiempo que el evento . Aplica ${\ Displaystyle A \ setminus B}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B}$

${\ Displaystyle A \ setminus B = A \ cap {\ overline {B}} \,.}$

Lo siguiente se aplica a su probabilidad . En casos especiales sigue . ${\ Displaystyle P (A \ setminus B) = P (A) -P (A \ cap B)}$${\ Displaystyle B \ subseteq A}$${\ Displaystyle P (A \ setminus B) = P (A) -P (B)}$

Diferencia simétrica

Otra operación de conjunto es la diferencia simétrica

${\ Displaystyle A \ bigtriangleup B = \ left (A \ setminus B \ right) \ cup \ left (B \ setminus A \ right) = (A \ cup B) \ setminus (A \ cap B)}$

dos eventos y . El evento ocurre exactamente cuando ocurre uno o (pero no ambos), es decir, cuando ocurre exactamente uno de los dos eventos. Aplica ${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle A \ bigtriangleup B}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B}$

${\ Displaystyle P (A \ bigtriangleup B) = P (A) + P (B) -2P (A \ cap B) \,.}$

Eventos independientes

Los dos eventos y se llaman independientes entre sí si ${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B}$

${\ Displaystyle P (A \ cap B) = P (A) \ cdot P (B).}$

Usando la fórmula para la probabilidad condicional, esto se puede expresar como

${\ Displaystyle P (A) = P (A \ mid B)}$

escribir, siempre . ${\ Displaystyle P (B)> 0}$

De manera más general, una familia de eventos se llama independiente si para cada subconjunto finito : ${\ Displaystyle (A_ {i}) _ {i \ in I}}$${\ Displaystyle J \ subseteq I}$

${\ Displaystyle P \ left (\ bigcap _ {j \ in J} A_ {j} \ right) = \ prod _ {j \ in J} P (A_ {j}) \,.}$

Los eventos se denominan independientes por pares, si

${\ Displaystyle P (A_ {i} \ cap A_ {j}) = P (A_ {i}) \ cdot P (A_ {j})}$

se aplica a todos . Los eventos independientes son independientes por pares, pero lo contrario generalmente no se cumple. ${\ Displaystyle i, j \ in I}$

acto de Dios

Los eventos de un solo elemento a veces también se denominan eventos elementales . Si como mucho se puede contar , entonces las probabilidades de todos los eventos elementales se pueden determinar con la ayuda de ${\ Displaystyle \ {\ omega \} \ subseteq \ Omega}$${\ Displaystyle \ Omega}$ ${\ Displaystyle \ rho (\ omega) = P (\ {\ omega \})}$

${\ Displaystyle P (A) = \ sum _ {\ omega \ in A} \ rho (\ omega)}$

determinar la probabilidad de todos los eventos . Deben elegirse de manera que , además de ${\ Displaystyle A \ subseteq \ Omega}$${\ Displaystyle \ rho (\ omega)}$${\ Displaystyle 0 \ leq \ rho (\ omega) \ leq 1}$

${\ Displaystyle \ sum _ {\ omega \ in \ Omega} \ rho (\ omega) = 1}$

aplica.

Sin embargo, cabe señalar que los resultados en sí mismos a veces se denominan en la literatura eventos naturales . Sin embargo, estos no son eventos porque no son subconjuntos de . ${\ Displaystyle \ omega \ in \ Omega}$${\ Displaystyle \ Omega}$

Además, el conjunto de un elemento no tiene por qué estar necesariamente en el espacio para eventos . Entonces no es un evento. ${\ Displaystyle \ omega \ in \ Omega}$${\ Displaystyle \ {\ omega \}}$${\ Displaystyle \ Sigma}$

literatura

• Norbert Henze : Estocásticos para principiantes: una introducción al fascinante mundo del azar. 10a edición, Springer Spectrum, Wiesbaden 2013, ISBN 978-3-658-03076-6 , doi : 10.1007 / 978-3-658-03077-3 . Pág. 5–9, 283 ( extracto (Google) )
• Rainer Schlittgen : Introducción a la estadística. 9ª edición. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, Oldenbourg 2000, ISBN 3-486-27446-5

Evidencia individual

1. ↑ Klaus D. Schmidt: Medida y probabilidad. Springer-Verlag, Berlín Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89729-3 , p. 195.