Astroides

Animación de los astroides

Astroides de animación como un sobre

Los astroides como envoltura de una familia de elipses, en la que a + b = const.

El astroide (también conocido como la curva de estrella) es una curva plana que está determinada por las ecuaciones paramétricas con un parámetro ${\ Displaystyle t \ in [0.2 \ pi]}$

{\ Displaystyle x = a (\ cos t) ^ {3} \}

{\ Displaystyle y = a (\ sin t) ^ {3} \}

o por la ecuación implícita

{\ Displaystyle x ^ {\ frac {2} {3}} + y ^ {\ frac {2} {3}} = a ^ {\ frac {2} {3}} \ quad}

A que equivalente es

{\ Displaystyle \ quad (x ^ {2} + y ^ {2} -a ^ {2}) ^ {3} + 27a ^ {2} x ^ {2} y ^ {2} = 0}

se puede describir, donde es un número real positivo fijo . Es la curva que describe un punto en un círculo con un radio que rueda hacia adentro en un círculo con un radio . Entonces es un hipocicloide especial . ${\ Displaystyle a}$ ${\ Displaystyle {\ tfrac {1} {4}} a}$ ${\ Displaystyle a}$

Lo siguiente se aplica a su área ${\ Displaystyle A}$

{\ Displaystyle A = {\ frac {3} {8}} \ pi a ^ {2}}

.

La longitud de toda la curva es . Dentro de un cuarto de curva se aplica a la longitud del arco ${\ Displaystyle \ ell}$ ${\ Displaystyle \ ell = 6a}$ ${\ Displaystyle 0 \ leq t \ leq {\ frac {\ pi} {2}}}$

{\ Displaystyle s (t) = {\ frac {3} {2}} a \ sin ^ {2} (t)}

y para el radio de curvatura

{\ Displaystyle \ rho (t) = {\ frac {3} {2}} a \ sin (2t)}

.

Los astroides también son similares a los diamantes de los naipes ordinarios.

énfasis principal

Foco de los astroides
	intervalo	${\ Displaystyle x _ {\ mathrm {S}}}$	${\ Displaystyle y _ {\ mathrm {S}}}$
Pieza curva plana	0 ≤ t ≤ ${\ Displaystyle {\ tfrac {\ pi} {2}}}$	${\ Displaystyle {\ tfrac {2} {5}} a}$	${\ Displaystyle {\ tfrac {2} {5}} a}$
	0 ≤ t ≤ ${\ Displaystyle \ pi}$	0	${\ Displaystyle {\ tfrac {2} {5}} a}$
Figura de nivel	0 ≤ t ≤ ${\ Displaystyle {\ tfrac {\ pi} {2}}}$	${\ Displaystyle {\ tfrac {256} {315 \ pi}} a}$	${\ Displaystyle {\ tfrac {256} {315 \ pi}} a}$
	0 ≤ t ≤ ${\ Displaystyle \ pi}$	0	${\ Displaystyle {\ tfrac {256} {315 \ pi}} a}$
Cuerpo giratorio *	0 ≤ t ≤ ${\ Displaystyle {\ tfrac {\ pi} {2}}}$	${\ Displaystyle {\ tfrac {21} {128}} a}$	0